§ 7.8. Две структуры алгоритмов КОРФ

В приложениях часто встречаются упоминавшиеся в § 6.1 ситуации, когда нет достоверных априорных данных о статистических характеристиках случайных процессов ошибок измерений и проблематично само существование устойчивой статистики этих ошибок. В этих условиях алгоритм КОРФ должен быть алгоритмом-оценивателем, который уверенно производит оценивание при произвольных начальных векторах не очень чувствителен к различным вариантам статистической структуры ошибок измерений и случайных возмущедий, реализуется без заметной потери точности на БЦВМ с фиксированной запятой. Пусть векторы измерений имеют вид

где — векторы случайных ошибок измерений, а для сокращения записи формул будем считать отсутствующими случайные возмущения и векторы управлений Возможно использование двух в некотором смысле полярных структур алгоритма

Структура 1. В последовательности (7.60) векторы считаем независимыми и имеющими некоторую

«правдоподобную» к. В этом случае алгоритм КОРФ является частным случаем алгоритма ОРФ Калмана:

где

Должны быть заданы априорные данные (начальные условия) . Алгоритм структуры 1 выдает оценку, начиная с момента

Структура 2. Из (7.60) получим

где Векторы считаем независимыми, имеющими к. Это равносильно предположению, что векторы зависимы и геперируются стохастическим уравнением последовательность независимых случайных векторов с к. Как следует из (4.36) — (4.42) при

алгоритм КОРФ в этом случае имеет вид

где

При вектор и матрица определяются формулами (7.61), (7.62) алгоритма структуры 1. Поэтому, если в формулах (7.61), (7.62) и (7.63), (7.64) алгоритмов КОРФ структур 1 и 2 положить то работа обоих алгоритмов начинается при одинаковых начальных условиях . Формулы алгоритма структуры 2 получаются из формул алгоритма структуры 1, если в последних векторы и матрицы заменить их приращениями за интервал времени

как обычно то приближенное приращение матрицы

Какая структура алгоритма предпочтительнее для программирования на БЦВМ с фпксировапиой запятой? Ответ на этот вопрос, конечно, зависит от конкретных условий задачи оценивания (конкретного вида матриц и может быть точно решен лишь после масштабирования формул обеих структур алгоритмов КОРФ, их программирования на языке БЦВМ и при последующем сравнении точности оценивания путем математического моделирования на универсальной ЦВМ с использованием программы ИНТЕРПРЕТАТОР БЦВМ.

Примем, что преобразованием вектора измерений например, подстановкой задача оценивания сведена к случаю, когда оцепить надо постоянный вектор Существуют эвристические соображения, позволяющие утверждать, что потеря точности оценивания из-за вычислений при сравнительно небольшой длине разрядной сетки БЦВМ и операции округления (см. § 6.7) будет меньшей при реализации на БЦВМ алгоритма структуры 2. Этот эффект в принципе можно ожидать из-за того, что при программировании для БЦВМ формул (7.61), (7.62) длине разрядной сетки ставятся в соответствие максимальные (по модулю) элементы матриц и векторов Цена младшего разряда может оказаться такой, что в течение некоторых интервалов времени программа БЦВМ не «чувствует» изменения элементов матриц и ухудшается стохастическая наблюдаемость векторов При программировании для БЦВМ формул (7.63), (7.64) длине разрядной сетки ставятся в соответствие лишь максимальные (по модулю) элементы матриц и векторов и цепа младшего разряда получается на порядок меньшей, чем при программировании формул (7.61), (7.62). Однако следует учитывать, что алгоритм структуры 1 обычно сходится быстрее алгоритма структуры 2 (спектральная норма матриц построенных для формул (7.61), (7.62), уменьшается быстрее, чем для формул (7.63), (7.64)).

Заметим, что ценой усложнения формы записи алгоритм ОРФ Калмана (алгоритм структуры 1) в приицтше может быть представлен формулами, в которые входят не Для этого равенство (7.60) представим в виде

где векторы образуют вектор и удовлетворяют стохастическим уравнениям

Тогда динамическая система может быть записана уравнениями вида (4.34), (4.35), в которых

Из формул (4.36) — (4.42) получим после ряда упрощений, основанных на использовании особенностей блочной структуры матриц , запись алгоритма ОРФ Калмана в форме, со держащей векторы и матрицы