§ 1.4. Основные леммы

Чтобы добиться замкнутости изложения и избежать ссылки на стохастический принцип оптимальности Веллмана, намеченный в [51 и названный автором «интуитивным» [5, стр. 105, 108], вывод рекуррентных уравнений оптимизации дискретного стохастического управления с обратной связью будем основывать на двух простых леммах.

Лемма 1.1. Обозначим

где положительные функции, некоторый вектор. Тогда, если то

Действительно, пусть достигаются соответственно при Тогда справедливость леммы сразу следует из неравенства

(см. скан)

где по условию.

Лемма 1.2. Пусть функционал от функций определяется формулой

(см. скан)

где - положительные функции. Тогда минимум достигается на функциях определяемых рекуррентными уравнениями

(см. скан)

причем

(см. скан)

Доказательство проведем по ицдукции. При

Для мипимизации достаточпо для каждого выбором функции минимизировать функцию от заключенную в квадратные скобки в правой части (1.29). Поэтому

и лемма доказана при

Допустим, что лемма справедлива при . Покажем ее справедливость при Из (1.24) видно, что величина зависит от функций Поэтому для любого можно записать Из (1.24) при видно, что

где

В соответствии со сделанным допущением о справедливости леммы при к получим, что величина минимальное при фиксированном значение определится цепочкой уравнений (1.25) — (1.28), если положить при этом величина будет зависеть от Из леммы 1.1, применяемой последовательно снизу вверх к упомянутой цепочке уравнений следует, что для достижения минимума функции параметр надо выбирать из условия минимизации функции следовательно, он должен быть функцией только

Обозначив через минимум получим, что при первым в цепочке рекуррентных равенств должно быть равенство

Лемма доказана.