§ 2.14. Алгоритм оптимизации управления

Рассмотрим алгоритм оптимизации терминального управления, основанный на многомерных квадратурных формулах и аппроксимации условного распределения с плотностью вероятности нормальным распределением.

Пусть на предшествующих шагах оптимизации в узлах решетки области найдена функция Вектор оптимального управления в узлах решетки области определится при решении уравнения (2.2). Если для интервала назначен вектор управления то, интегрируя (2.126), (2.127) от

4 до при начальных условиях получим — параметры условной плотности в нормальном приближении. Используя алгоритм извлечения квадратного корня, получим представление в виде где — матрица размерности Величину найдем, воспользовавшись квадратурными формулами наивысшей алгебраической точности

где

Величины входящие в (2.150), получим, выразив их с помощью интерполяционной формулы через величины найденные на предшествующем шаге оптимизации. Так как может быть вычислена для любого вектора и, то вектор оптимизации управления минимизирующий функцию определяется применением одного из алгоритмов нелинейного программирования — например, метода проекции градиента:

где вектор квазиградиента функции , получаемый применением разностной формулы вида (2.52) или (2.53).

Иной способ определения вектора градиента можно наметить следующим образом. Пусть на предшествующих шагах оптимизации в узлах найден и занесен в память вектор градиента функции Дифференцируя по и (2.150), найдем

где

— матрицы, составленные соответственно из производных компонент вектора и производных элементов матрицы по компонентам вектора и. Элементы матриц в принципе можно найти, дифференцируя по компонентам и левые и правые части уравнений (2.126), (2.127). Интегрируя от до совместно полученные уравнения и исходные уравнения, найдем матрицы

Дифференцируя по и обе части равенства получим

— систему линейных уравнений, решая которую, найдем

После того как алгоритмом минимизации найден необходимо для следующего шага определить и занести в память ЦВМ вектор градиента Этот вектор определяется формулой, аналогичной (2.151) при замене в (2.151), (2.152) нижнего индекса и на х.

По аналогии со способом 2 главы 2 возможен способ оптимизации управления методом нелинейного программирования, не требующий занесения в память ЦВМ величин Способ осдоран на

представлении функции формулой (2.91) и определении вектора численным интегрированием уравнений (2.126), (2.127) на отрезке при использовании вектора управления и на интервале И», и векторов оптимальных управлений на отрезке