§ 3.12. Определение областей оптимизации

Ранее подчеркивалось, что при реализации того или иного численного метода оптимизации (стохастического или нелинейного программирования) важно уметь определять области 86 к — области векторов фазовых координат, для которых содержательна задача синтеза вектора оптимального стохастического терминального управления. Ясно, что чем меньше области к (чем с меньшим «запасом» они определены), тем быстрее проводится численная оптимизация управления.

Пусть — вектор фазовых координат динамической системы в момент и известны будущие (на отрезке ее случайные перемещения, описываемые последовательностью векторов Далее, эту последовательность обозначаем через В такой постановке задача оптимизации не стохастическая, а детерминированная. Решая ее одним из известных детерминированных методов, найдем зависящее от оптимальное терминальное управление и соответствующую минимальную величину Заметим, что при выборе надо учитывать, что в будущие моменты случайные последовательности «хвосты» случайной последовательности известны и используются при выборе будущих оптимальных управлений

Выделим в пространстве возможных случайных последовательностей область которой они должны принадлежать с близкой вероятностью Пусть вектор таков, что для всех оптимальные управления не зависят от Область таких в обозначим через

Вернемся теперь к задаче синтеза оптимального стохастического управления. Пусть решены соответствующие рекуррентные уравнения, найдены оптимальные управления и при их использовании с конкретной последовательностью функция потерь примет значение Ясно, что всегда

так как управления не учитывают конкретную последовательность Для задачу оптимального стохастического управления приближенно решает равенство

Стохастическое управление в соответствии с (3.106) — «почти» наилучшее, так как при его использовании «почти» для всех последовательностей величина функции потерь достигает своей нижней грани (неравенство (3.105) становится равенством). Это следует из того, что управление, начатое в момент при с вероятностью будет достигать в моменты фазовых координат, входящих в области для которых рекомендуется использовать

Итак, для задача оптимизации стохастического управления несодержательна, так как сводится к детерминированной задаче. Поэтому целесообразно областью стохастического синтеза считать область дополнительную в к области

Применим изложенные эвристические соображения к случаю, когда средщш риск — вероятность непопадания в параллелепипед (см. § 1.1). Найдем область векторов в момент таких, что вектор останется вне параллелепипеда следовательно, при оптимальном использовании управлений и при наиболее благоприятной («помогающей» достигнуть параллелепипеда случайной последовательности

Областью примем параллелепипед возможных случайных перемещений за время Из (3.103) область определится неравенствами

В момент вектор случайных перемещений окажется внутри с близкой к 1 вероятностью удовлетворяющей (3.104). Если из каждой точки границы параллелепипеда как из начала координат построить , то получим параллелепипед, определяемый неравенствами

С вероятностью точка, лежащая вне этого параллелепипеда, не достигнет 3? в результате случайных перемещений. Из каждой точки параллелепипеда, описываемого (3.107), как из начала координат построим параллелепипед аппроксимирующий (с некоторым «запасом») область достижимости при управлении на отрезке Получим параллелепипед, определяемый неравенствами

где величины определяются из (3.101). С вероятностью точка, лежащая вне этого параллелепипеда, не достигнет 3? как в результате наиболее «благоприятных» случайных перемещений, так и в результате оптимального детерминированного управления. Поэтому на всех таких точках и стохастический синтез несодержателен. Область содержательного синтеза определяется неравенствами (3.108). Такими же неравенствами (при определяются области и в других случаях (например, когда терминальная функция потерь — квадратичная форма).