§ 8.5. Численный синтез оптимального управления при m = 2 (модельная задача мягкой посадки)

Изложенные в § 3.8 и 3.9 структуру оптимального скалярного стохастического управления и методику численной оптимизации конкретизируем при решении модельной задачи мягкой посадки — последнего участка вертикального спуска на поверхность планеты при отсутствии атмосферы [11]. Примем, что ускорение гравитации постоянно; имеет один дросселируемый реактивный двигатель, ориентируемый по вертикали; сигнал дискретной обратной связи принадлежащий модели измерений 1, поступает от высотомера, измеряющего в момент высоту полета со случайной ошибкой дисперсия которой равна

Для обеспечения мягкой посадки в заданный момент окончания процесса управления примем, что модули высоты и скорости изменения высоты не должны превосходить задандых величин Поэтому цель

терминального управления состоит в максимизации вероятности того, что в момент

соответствующая этой цели терминальная функция потерь, среднее значение которой должно минимизировать оптимальное управление, будет при описанной в § 3.11, характеристической функцией множества, получаемого, если из плоскости изъять точки прямоугольника, вершины которого имеют координаты

Численный синтез оптимального управления (определение линий переключений) проведем считая массу линейной функцией времени. При реализации же найденного управления используются оптимальные оценки текущих найденные в процессе работы дросселируемого двигателя. Поэтому уравнение задачи запишем в виде

где тяга двигателя, являющаяся несимметрично ограниченной скалярной величиной управления начальная масса скорость истечения. В соответствии с § 3.3 проведем симметризацию области допустимого управления и для достижения общности рассмотрения и уменьшения числа исходных данных перейдем к безразмерному времени и безразмерным фазовым координатам, положив

Уравнения задачи (8.37), (8.38) примут вид

где последовательность случайных независимых безразмерных ошибок измерений, дисперсия которых равна Будем считать, что для оптимальной оценки фазовых кооординат по результатам измерений используется алгоритм ОРФ, соответствующий модели измерений 1, а величина

А достаточно мала. В этом случае, как было отмечено в § 4.13, к. м. С — условная к. м. ошибок оценки мало зависит от величины А (конечно, при фиксированной априорной к. и определяется в результате решения матричного уравнения при

Решая это уравнение, получим, что элементы условной к. имеют вид

где

априорные дисперсии величин связанные с априорными дисперсиями величин соотношениями

Алгоритм ОРФ последовательно выдает величины оптимальные оценки величин а оптимальное управление целесообразно строить в функции компонент вектора (вектора оптимальных оценок вектора прогнозированных фазовых координат), который связан соотношением (8.12) с составленным из вектором . В (8.12) надо положить

Тогда получим

где

Оптимальное скалярное управление

найдется в результате последовательного решения задачи (8.15) — (8.17), которая в данном случае принимает вид

где

Здесь

В данном случае и

Поэтому в

В (8.42) - компоненты вектора, к. м. которого равна Терминальная функция в (8.36) является характеристической функцией области, получаемой, если из плоскости изъять точки прямоугольника определяемого условиями где

Оптимальное скалярное управление (8.39), полученное при численном решении задачи (8.40) — (8.42), максимизирует вероятность попадания в прямоугольник Это управление, как следует из (3.86) — (3.88), описывается следующими формулами: если

то оптимальное управление линейно:

если условие (8.44) не выполнено, то оптимальное управление достигает ограничения и

В (8.44) - (8.46) величины функции и являются компонентами вектора А.

Из (8.39) видно, что если то Вектор лежит на прямой прямой, проведенной через конец вектора параллельно вектору и доставляет минимум функции в точках, принадлежащих Выбранная терминальная функция потерь невыпуклая. Поэтому, вообще говоря, функции невыпуклые. Однако, как показывает расчет, линии уровня этих функций (линии, на которых вложенные друг в друга выпуклые овалы, не содержащие отрезков прямых. Поэтому прямая касается соответствующего овала в единственной точке А. Так как вектор с компонентами произвольное число) перпендикулярен вектору то прямые в параметрической форме, записываемые уравнением

являются однопараметрическим семейством параметра а и покрывают плоскость Так как каждой прямой соответствует единственный вектор А, то числа — функции

Функция определяется при решении для разных величин а задачи

где

Уравнения (8.48) являются параметрическими уравнениями линии в плоскости на которой оптимальное

управление равно нулю. Эту линию условно назовем «линией переключения» при данном К. При заданном векторе соответствующий ему вектор найдем из очевидного равенства

Поэтому

или

Подставляя (8.52) пли (8.51) в (8.48), получим искомые функции и

Пусть на предшествующем шаге оптимизации определена и занесена в память ЦВМ функция При заданной величине а функция в (8.50) может быть найдена из (8.41) по одномерной квадратурной формуле наивысшей алгебраической точности. Поэтому решение задачи (8.49) получим методом организованного перебора (например, методом «золотого сечения») или градиентным методом. В результате для разных а может быть найдена и занесена в память ЦВМ функция входящая в (8.48). При этом величина определяется численно при последовательном увеличении из условия: на прямых 2, соответствующих или величины при практически не меняются в функции следовательно, Это означает, что во всех точках не лежащих между прямыми Иначе: с вероятностью, близкой к 1, управлением на интервале невозможно перевести в прямоугольник, определяющий функцию потерь, точку, у которой вектор оптимальных оценок упрежденных фазовых координат не лежит между прямыми Определение величин X, функциями завершает численный синтез оптимального управления при данном к. «Заготовка» для следующего шага оптимизации — оптимизации управления в момент

состоит в определении из соотношения

и (8.41) и занесении в память ЦВМ величин минимальных условных рисков для различных векторов лежащих внутри области в которой содержательна задача синтеза. Из § 3.14 следует, что при используемой терминальной функции потерь область является прямоугольником, определяемым (3.108), если заменить на .

В данном случае в (3.108) величины (область достижимости при управлении на интервале является прямоугольником, координаты вершин которого определяются формулами

где приведены ранее; величины (область возможных случайных перемещений на интервале аппроксимируется прямоугольником, координаты вершин которого (из при являются диагональными элементами матрицы если в (8.26) положить Матрица элементы матрицы были приведены выше.

Далее, отношения величин к половинам длин соответствующих сторон прямоугольника обозначаем через . В этих координатах область — квадрат с вершинами ±1, 1, ±1, —1. Как уже отмечалось, область определяется формулой (3.108) с «запасом». В рассматриваемом случае это проявляется в том, что определять из (8.53), (8.41) и заносить в память ЦВМ надо лишь для точек принадлежащих области полученной пересечением области и области между прямыми В остальных точках области

Процесс оптимизации начинается с решения задачи (8.49) при для различных Задача осложняется тем, что вычисление по (8.50) для различных величин и функции требует, как следует из вида функции

и из (8.42), вычисления двумерных интегралов, верхний и нижний пределы которых конечны. Эти вычисления проводятся по двумерным квадратурным формулам Гаусса. Для векторов лежащих в области тем же способом вычисляются значения функции

и заносятся в память ЦВМ. Для к задача синтеза облегчается, так как требует вычисления лишь одномерных интегралов.

Численная реализация синтеза проводилась при

Результаты расчетов линий уровня функций представлены в координатах на рис. 8.1.

Рис. 8.1.

Видно (рис. 8.1, а), что при поверхность функции является поверхностью узкой щели, прорезанной в прямоугольном параллелепипеде, у которого высота равна 1, а длины горизонтальных ребер равны 2. Высота «дна» щели При 0,2 0,8 (рис. 8.1, б) линии уровня функций для разных к мало отличаются друг от друга. При этом ширина «щели», соответствующая величинам значительно расширяется. Однако «склоны» щели остаются крутыми, так что основная ее поверхность занята «дном» с

высотой На рис. 8.2 приведены линии уровня (см. рис. 8.2, а) и два сечения поверхности функции плоскостями и

На рис. 8.3 для разных представлены линии переключения оптимального управления.

Рис. 8.2.

Рис. 8.3.

Как видно, эти линии симметричны относительно начала координат и их концы достаточно далеки (особенно при больших от границ квадратов Это вызвано тем, что для значительной области точек этих квадратов при любом управлении.

При вычислениях по квадратурным формулам наибольшей алгебраической точности порядок используемых полиномов Эрмита варьировался в пределах 5—9. Число узлов сетки, покрывающей прямоугольники варьировалось в пределах 126—451.