§ 9.6. Уравнения эволюции статистических характеристик в ненормальном приближении

Выведем уравнения эволюции статистических характеристик, позволяющие путем численного интегрирования определить вектор м. о. и центральные моменты по 4-й порядок, которые служат характеристиками априорного распределения в методике, рассмотренной в § 9.5. Будем по-прежнему считать, что модель динамической системы описывается уравнениями вида (2.106) или (2.107). Вектор м. о. х удовлетворяет первому уравнению (2.121), которое в скалярной форме может быть записано в виде

где компонента вектора определяемого (2.115). Далее обозначим

где компонента вектора определяемого (2.116). Тогда из (2.113)

где строка матрицы в (2.106). Аналогичные выражения получим при замене i на

Образуем с помощью (9.44 выражения

осредним и после деления на перейдем к пределу при Тогда получим

Уравнения эволюции для остальных центральных моментов получим, приравнивая друг другу различные индексы и приводя подобные члены. Так, например, положив получим из (9.45), (9.46), (9,47)

Заметим, что (9.45) и (9.48) являются скалярной формой записи второго (матричного) уравнения (2.121). Уравнения эволюции (9.44)-(9.50) являются замкнутыми, если вектор и элементы матрицы линейные функции (2.121). В этом случае правые части уравнений (9.45), (9.46), (9.47) — линейные комбинации центральных моментов соответственно не выше 2-го, 3-го, 4-го порядков.

Заметим, что необходимость использования алгоритма НЛРФ в ненормальном приближении для оценки фазовых координат линейных динамических систем возникает, если распределение начальных фазовых координат имеет резко ненормальный вид (например, неунимодальное).

Если полиномы от компонент вектора х в степени выше первой, то в правых частях уравнений (9.44)-(9.50) Могут появиться центральные моменты выше 4-й степени. Используя «гипотезу урезания», выразим эти моменты через моменты не выше 4-й степени и таким образом приведем уравнения (9.44)-(9.50) к замкнутому виду.

Заметим, что эти полиномы надо привести к полиномам от центрированных переменных сделав замену

Если выражения для содержат гладкие неполиномиальные функции, то в предположении малости величин эти функции можно попытаться разложить в степенной ряд Тейлора в окрестности текущей точки х и использовать конечное число членов. Тогда получим случай полиномиальных функций, коэффициенты которых зависят от текущих компопент вектора х.

Если функции нельзя разлагать в ряд Тейлора, для вычисления в правых частях уравнений

(9.44)-(9.50) надо иметь подходящую аппроксимацию плотности вероятности вектора х. Использование одной из таких аппроксимаций рассматривается далее.