§ 4.13. Стохастическая наблюдаемость при измерениях модели 1

Рассмотрим стохастическую наблюдаемость вектора при измерениях векторов модели 1, предполагая, что к. неособенные, Учитывая (4.82) — (4.88), получим, что векторы и матрицы, входящие в (4.70) — (4.76), имеют вид

Выше где фундаментальная матрица уравнения динамической системы, из которого получено соотношение (4.78).

Рассматривая с помощью (4.109) матрицы элементы матрицы , являющейся при измерениях модели 1 априорной к. м. случайного вектора, составленного из векторов можно проверить, что неособенная, если матрицы — неособенные. Однако легче в этом убедиться, если учесть, что векторы имеют вид

Так как по условию независимы компоненты случайных векторов то, как видно из (4.70), независимы компоненты случайных векторов следовательно, их к. неособенная. Из (4.74), (4.75) и (4.109) следует, что матрица имеет вид

где

Необходимое и достаточное условие стохастической наблюдаемости имеет вид Так как матрица неособенная, то ранг матрицы равен рангу матрицы размерности следовательно, по лемме 4.2 вектор стохастически наблюдаем при фиксации векторов если Для этого, конечно, необходимо, чтобы Если (случайные возмущения не действуют на динамическую систему), то

где

Так как априорная к. неособенная, то достаточное условие стохастической наблюдаемости примет вид

и совпадает с необходимым и достаточным условием детерминированной наблюдаемости Калмана [2].

Следует подчеркнуть, что стохастическая наблюдаемость предъявляет к системе менее жесткие требования, чем детерминированная наблюдаемость. Так, например, пусть при все элементы матрицы не равны нулю. В этом случае при любой величине к все строки матрицы в (4.111) не содержат нулевых элементов, следовательно, выполнено условие стохастической наблюдаемости. Однако матрица составлена из одинаковых столбцов, и условие детерминированной наблюдаемости (4.112) не выполнено.

В прикладных задачах иногда надо знать, несет ли данный состав измерений информацию, например, о элементе вектора (часто величина «ухода нуля» аппаратуры, постоянная в данной реализации и случайная на множестве реализаций; эту величину хотят оценить в процессе рекуррентной фильтрации). Из (4.76) и (4.110), (4.111) следует, что измерения не несут информацию о величине если равен. нулю результат умножений строки матрицы на каждый столбец матрицы или (при равен нулю результат умножения строки матрицы на каждый столбец матрицы

Что можно сказать о стохастической наблюдаемости при измерении вектора ? В условиях леммы 4.5 матрицы неособенные. Тогда, если ранг матриц равен из (4.92) при видно, что ранг матриц равен Из леммы (4.2) (неравенство следует, что при измерении вектора стохастически наблюдаемо будет не менее I элементов вектора