§ 4.8. Априорная и апостериорная точность оценки алгоритмов ОРФ

Выше отмечалось, что алгоритм и непосредственно следующие из него далее алгоритмы определения векторов условных м. о. при измерениях вида 1 или 2 естественно называть «алгоритмами ОРФ».

Определяемый (4.44) вектор можно называть «вектором ошибок оптимальной оценки», условная к. м. этого вектора может называться ошибок оценки».

1. Как уже подчеркивалось, к. описывает апостериорную точность оценки вектора вектором (описывает рассеивание вектора ошибок оценки точность оценки с точки зрения исследователя, который произвел измерения векторов и после применения алгоритма ОРФ (формулы (4.41), вычислил вектор Поэтому в данной реализации (после фиксации вектор не случаен и

Одиако для проектных исследований необходимо знать ожидаемую точность оценки вектора в будущих реализациях, когда известно, что алгоритм ОРФ будет применяться к еще не зафиксированным (или к частично зафиксированным) результатам измерений. Точность оценки в описанной ситуации условно будем называть «априорной (доопытиой) точностью оценки».

Итак, пусть зафиксированы лишь векторы по-прежнему определяется рекуррентной формулой (4.41), при последовательном использовании которой надо векторы заменить нефиксированными (случайными) векторами Тогда вектор случаен и вместо (4.53) следует записать

Обозначим

вектор прогнозируемых на момент ошибок оценки, если измерения проводились от момента до момента Определенный ранее равенством (4.44) вектор 6 совпадает с вектором Вектор априорной ошибки оценки определяется равенством

Докажем, что для всех

где матрица определяется рекуррентной формулой (4.42). Равенства (4.55), (4.56) означают, что все

нормально распределенные векторы статистически эквивалентны, так как имеют одинаковые м. о. и к. м.

При равенства (4.55), (4.56) совпадают с (4.45). Доказательство справедливости (4.55), (4.56) для всех проведем по индукции. Пусть число зафиксировано и (4.55), (4.56) доказаны при некотором . Из (4.41) получим

где

Так как то фиксация не повлияла на распределение случайных векторов и эти векторы независимы с вектором Осредняя обе части (4.57) при фиксированных и учитывая сделанное предположение о справедливости (4.55) при замене к на к — 1, получим, что (4.55) доказано. Умножая (4.57) справа на и осредняя при фиксированных получим, учитывая сделанное предположение о справедливости (4.55), (4.56) при замене :

После простых выкладок, учитывающих формулы (4.38), (4.39), получим, что правая часть (4.59) равна и (4.56) доказано. Но так как при любом (4.56) правильны при а по индукции следует справедливость этих равенств при любом то (4.55), (4.56) доказаны для всех таких, что

Дословно так же доказывается, что если ни один вектор не зафиксирован, то

Равенства (4.52), (4.55), (4.56) и (4.60) означают, что во всех ситуациях априорная и апостериорная точность оценки вектора при применении алгоритма ОРФ одинакова. Поэтому далее, опуская индексы и вектор ошибок оценки обозначаем через

2. Изучим теперь статистические свойства случайных векторов

при фиксированных векторах Заметим, что должно быть так как вектор не случаен.

Из (4.34), (4.36) и (4.57) получим, что равен введенному ранее равенством (4.49) вектору

Из (4.62) и равенств (4.55), (4.56) следует, что статистические свойства случайных векторов от не зависят (фиксация векторов измерений на лих не влияет). Поэтому, осредняя обе части (4.62) и матрицу при фиксированных получим

Умножим (4.62) справа на и осредним, учитывая правую часть (4.62) и осредним при фиксированных Получим

так как

Умножим (4.62) справа на и осредним, учитывая (4.66) при замене и пезависимость случайных векторов Получим

Подставим в заменив в (4.63) . Получим

где некоторые матрицы. Умножим справа (4.68) на и осредним. Учитывая (4.66) при замене к на к при замене и независимость

получим

Поступая аналогично (используя (4.63) при замене к на при замене к на и т. д.), получим

при

Итак, векторы образуют последовательность случайных независимых нормально распределенных векторов, статистические характеристики которых от не зависят и определяются (4.64), (4.65). Аналогичный вывод получается, если не зафиксированы все векторы