§ 8.2. Оптимизация при терминальном управлении

При оптимизации по терминальному критерию векторы оптимальных управлений удобно искать в виде функций компонент векторов условных м. о. векторов прогнозируемых фазовых координат определяемых формулой (3.18). Векторы условных м. о. векторов

определяются, как следует из (3.18), соотношением

где векторы условных м. о. векторов определяемые одним из вариантов алгоритмов ОРФ. Векторы могут определяться и непосредственно, без промежуточного определения векторов если алгоритмы ОРФ использовать для оценки вектора фазовых координат дискретной системы при векторе измерений

где

Из (8.12) и (8.1), (8.11) следует, что векторы при фиксированных векторах управлений образуют марковскую последовательность, порождаемую стохастическим уравнением

где в зависимости от модели вектора измерений или случайные векторы те же, что в (8.1), (8.11). Оптимизация терминального управления определяет вектор-функции

при решении задачи, аналогичной (3.29):

где

Если в пеквадратичная функция компонент вектора х, то минимизация по и функции производится методами стохастического или нелинейного программирования и (8.17) целесообразно переписать в виде

где корень квадратный из

Пусть терминальная функция потерь зависит лишь от первых компонент вектора следовательно, зависит лишь от вектора вектора, составленного из первых компонент вектора являющихся конечными фазовыми координатами «усеченной», -мерной динамической системы, описываемой дискретным стохастическим уравнением (3.20). Обозначим через векторы условного м. о. векторов Эти векторы составлены из первых компонент векторов Из (8.13) видно, что А порождаются стохастическим уравнением

где матрицы, составленные из первых строк матриц и при фиксированных образуют марковскую последовательность. Поэтому в рассматриваемом случае вектор-функция оптимального управления

определяется при решении задачи

где

где случайные векторы, составленные из первых компонент случайных векторов Их к. м. расположены в верхних левых углах к.

Заметим, что матрицы, обозначаемые в главе 3 через совпадают с матрицами, обозначенными выше через

Уравнения (8.21) — (8.23) оптимизации терминального управления при неполной статистической информации о фазовых координатах ничем не отличаются (после замены на от уравнений (3.29) — (3.31), используемых при оптимизации управления по полной информации. Поэтому при поиске оптимальных вектор-функций и функций минимальных условных рисков справедливы выводы и рекомендации по построению алгоритмов оптимизации, полученные в главе 3.

Однако задача поиска облегчается тем, что использование последовательного алгоритма позволяет в (8.21) считать При (в (8.21) и — скаляр) логика

построения оптимального стохастического управления по полной информации, описанная в § 3.8 и определяемая формулами (3.820) — (3.88), без изменений переносится на случай неполной (статистической) информации. Для этого надо в (3.820) — (3.88) заменить на Векторы естественнее обозначать через с сохранением их определения, приведенного в § 3.8. При оптимальное терминальное управление определяется формулами (3.110), (3.111), в которых величина заменена на величину величину условного м. о. (или, что то же самое, величину оптимальной среднеквадратичной оценки) соответствующей фазовой координаты вектора в момент

Рекомендации по численным методикам оптимизации терминального управления и выводы по структуре оптимальных управлений и областей «нечувствительности» при ограничении числа участков управления, при случайном моменте остановки измерений, при учете энергозатрат на управления, полученные в §§ 3.16-3.18 для случая полной информации без изменений, переносятся на случай неполной информации после замены векторов на векторы и учете данного выше определения матрицы

Для назначения областей численной оптимизации в которых содержательна задача синтеза оптимального терминального управления при неполной (статистической) информации, необходимо оценивать область достижимости в которую может попасть при допустимых управлениях удовлетворяющий (8.19) вектор если Методика определения областей ничем не отличается от описанной в § 3.11. Параллелепипеды описанпые вокруг областей достижимости определяются (3.102) при замене на компоненту вектора а в (3.101) должны войти элементы матриц Кроме того, необходимо оценивать область случайных перемещений в которой с заданной вероятностью, не меньшей и близкой к 1, окажется вектор если в Из (8.13) при получим, что

Поэтому к. м. случайного вектора

определяется формулой

При измерениях модели для к. можно получить компактное выражение. Учтем, что

Подставляя в (8.24) при получим

Пусть первые диагональных элементов к. Из § 3.12 следует, что параллелепипед определяется неравенствами

где

Области определяются неравенствами, аналогичными (3.104).