§ 9.2. Алгоритмы НЛРФ в нормальном приближении

1. В § 2.12 статистические характеристики (вектор фазовых координат нелинейной стохастической системы определялись в нормальном приближении. Естественно эти характеристики после измерений тоже определять в нормальном приближении, считая

нормальными априорную и апостериорную плотности вероятностей фазовых координат [10]. Такой подход является первым шагом на трудном пути разработки эффективных алгоритмов НЛРФ.

Рассмотрим общую схему построения алгоритмов НЛРФ в нормальном приближении. Модель динамической системы описывается нелинейным уравнением вида (2.107) (или (2.106), или (2.137)) и в моменты фиксируются векторы

где заданная вектор-функция соответствующего числа переменных размерности последовательность независимых случайных векторов с заданными статистическими характеристиками: Пусть в момент известны вектор и матрица которые мы считаем соответственно вектором условного (после фиксации векторов вектора и условной к. м. этого вектора. Приближенно найдем

— априорные (до фиксации вектора ) вектор м. о. и к. м. вектора . Для этого проинтегрируем от до при начальных условиях уравнения (2.126), (2.127) (или (2.138), (2.139)), которые описывают эволюцию статистических характеристик вектора в нормальном приближении. Принимаем

Далее приближенно считаем нормальным совместное априорное (до фиксации распределение векторов и определяем его недостающие параметры

где

Матрицу можно получить по формуле, аналогичной (2.125):

Часто можно допустить, что компоненты вектора малы, разложить по степеням этих компонент и ограничиться конечным числом членов. Тогда, используя известные формулы для центральных моментов нормального распределения, легко выразить через компоненты вектора и элементы матрицы Так, если

где матрица частных производных компонент вектора по компонентам вектора то получим

Векторы и матрицы полностью определяют предполагаемое нормальное априорное распределение векторов После фиксации вектора вектор и матрица параметры предполагаемого нормального апостериорного распределения вектора найдутся, как следует из (4.2), (4.3), по формулам

Вектор следует считать вектором оценок, оптимальным по среднеквадратичному критерию.

Алгоритм (9.3), (9.4) при использовании называют «линеаризованным дискретным алгоритмом Калмана».

Если в представление (9.2) включить слагаемые, квадратичные относительно компонент вектора то получим «квадратичный дискретный алгоритм Калмана». В этом случае при

где соответственно градиент и матрица вторых частных производных функции Тогда в

где элементы матриц

По причинам, изложенным в § 2.14, матрица может не обладать свойством Поэтому, используя алгоритм извлечения квадратного корня, необходимо «исправить» матрицу определив ее формулой где Т — корень квадратный из

Из-за нормального приближения, используемого при вычислении матриц свойством неотрицательной определенности может не обладать матрица, блоками которой будут матрицы Тогда формула (9.4) теряет смысл (например, будет Поэтому с помощью алгоритма извлечения квадратного корня необходимы проверка и исправления этой блочной матрицы.

Заметим, что при получаем Тогда упомянутая блочная матрица обладает свойством к. м., если только после исправления этим свойством обладает матрица

Другой метод обеспечения состоит в использовании не (2.127), а системы дифференциальных уравнений для матриц способ получения которой намечен в § 2.14.

2. Рассмотрим описанную в § 7.9 модельную задачу инерциально-допплеровской навигации, но без предположения о малости величин (необходимость такого рассмотрения возникает, если ИНС ЛА невысокого качества, а ДИСС включается не сразу после начала полета). В этом случае алгоритм НЛРФ должен учитывать

нелинейные слагаемые как в уравнениях системы (7.67), (7.68), так и в уравнениях измерений (7.72), (7.73).

Обозначим через семь фазовых координат — ошибок инерциально-допплеровской навигационной системы в соответствии с (7.71). Тогда уравнения эволюции (2.126), (2.127) примут вид

Здесь А — матрица линейной системы, рассмотренной в § 7.4, а у матрицы

Остальные Интегрирование нелинейных уравнений (9.5), (9.6) от до при условиях определит

Вектор и матрицу условные в нормальном приближении вектор м. о. и к. м. вектора найдем из (9.3), (9.4), если положить

где

компоненты вектора элементы матрицы

Из рассмотренного примера видно, что нелинейность задачи проявляется в нелинейности уравнений (9.5), (9.6) и влиянии друг на друга компонент вектора х и элементов матрицы С (в линейных задачах оценивания это взаимное влияние отсутствует). Кроме того, матрицы равны этим матрицам в алгоритме ОРФ Калмана (правые части (4.92), (4.93) при сложенным соответственно с матрицами которые зависят от и возникают из-за нелинейности вектора измерений.

Аналогично вышеизложенному нетрудно выписать алгоритм НЛРФ и в рассмотренной в § 5.2 задаче математической выставки при произвольных величинах углов между ЗСК и БСК.

Примеры применения алгоритма НЛРФ в нормальном приближении для оценки параметров движения ЛА по угломерной информации и по информации от радиомаяка приведены в [10].