§ 3.4 Оптимизация методам стохастического программирования

1. При оптимизации управления линейной динамической системы методом стохастического программирования (способ 1, § на каждом шаге решается задача определения вектор-функции

где из (2.79), (2.80) и (3.15), (3.17)

причем и

осреднение производится по ранее определенному. случайному вектору у, имеющему размерность соответственно

Ранее (§ 2.6) было показано, что функции выпуклы вниз по и (при выпуклости вниз функций что гарантирует в определенном ранее смысле сходимость процесса стохастического программирования, описываемого алгоритмом Реализация этого процесса для линейных динамических систем существенно проще, чем для систем нелинейных. Это объясняется простотой модели, генерирующей для разных векторов и, меняющихся в процессе итераций, случайные векторы по формуле (3.17), в которой характеристика рассеивания (матрица не зависит от и и, следовательно, постоянна на данном шаге процесса оптимизации. Вектор вектор градиента по и функции (вектор стохастического градиента функции по и равен , необходимый на каждой итерации, определяется формулой

где вектор градиента функции

Этот вектор можно найти по приближенной разностной

формуле, если в память ЦВМ занесены величины найденные в узлах решетки области на предыдущем шаге процесса оптимизации.

2. При оптимизации методом стохастического программирования способом 2 (аналогичен способу 2 в § 2.8, п. 3) можно ценой расширения размерности моделируемого случайного вектора избавиться от необходимости определять величины в узлах решетки областей Положим

где случайные векторы, определяемые рекуррентными соотношениями

Здесь случайные векторы, составленные из случайных, независимых, нормально распределенных компонент составленный из случайный вектор размерности Из определения условного среднего риска следует, что

Пусть на предшествующих шагах оптимизации найдены и занесены в память ЦВМ векторы оптимальных управлений в узлах решеток областей Вектор оптимального управления найдем в результате применения алгоритма стохастического программирования вида

где

некоторая реализация случайного вектора Векторы при несовпадении определяется интерполяционной формулой.

Иногда рационально использовать следующее выражение для градиента функции по и:

Вектор определяется в результате последовательного решения (при фиксированных векторах рекуррентных уравнений дискретной неоднородной сопряженной системы: