§ 6.2. Сходимость алгоритма НОРФ при измерениях модели 1

1. Покажем, что алгоритм НОРФ практически всегда (при любых «разумных» ошибках, априорных статистических характеристик) сохраняет полезные свойства алгоритма ОРФ, являясь «оценивателем» фазовых координат системы при любых, ее начальных условиях. Как и в § 4.15, рассмотрим эволюцию локальных распределений векторов априорных ошибок оценки алгоритмом НОРФ - эволюцию априорных распределений векторов при фиксированном векторе

Из уравнения (4.135), в котором и заменены на следует, что векторы м. о. локальных распределений ошибок оценки алгоритмом НОРФ - векторы определяемые формулой, аналогичной (4.140), удовлетворяют рекуррентному уравнению

при условии Для выполнения условия,

аналогично (4.144) (условия сходимости алгоритма НОРФ в среднем), достаточно, чтобы

Но матрицы связаны с матрицами получаемыми формальным применением рекуррентного уравнения (4.95), уравнением вида (4.138), в котором заменены соответственно на и следующим из него уравнением вида (4.149). Поэтому аналогично § 4.15 получим, что равенство (6.22) выполнится, если

или

Альтернативы равенствам (6.23), (6.24) нет, так как о применении в БЦВМ алгоритма НОРФ при увеличении числа измерений имеет смысл говорить, лишь если матрица (неправильная условная к. стремится к некоторой предельной матрице.

Напомним (см. § 4.13), что (6.23) и (4.147) выполнятся при любых матрицах (и любых , если на систему не действуют случайные возмущения и справедливы (4.117) или (4.128), (4.132) или (4.133) при ограниченном интервале измерений.

Из равенств (6.21), (6.18) и формулы (6.22) следует, что при к

Итак, практически всегда векторы в среднем сходятся к векторам и при любых фиксированных векторы в среднем сходятся к векторам

2. Рассмотрим ситуацию, когда при произвольном случайные векторы сходятся к в среднеквадратичном. Учтем, что

Пусть выполнены равенства (4.147) и (6.23). Как было показано в § 4.15, при к нулю стремятся величины (равенства (4.144), (4.145)), обеспечивая сходимость алгоритма ОРФ; к нулю стремится и

величина Но равенства (4.147) и (6.23) при отсутствии случайных возмущений и стационарности динамической системы гарантируют, что при матрице стремятся матрицы а следовательно, и матрица матрица как видно из (6.17), стремится к матрице Из (6.16) следует, что матрица стремится к предельной матрице удовлетворяющей уравнению

Отсюда

Уравнение (6.28) является матричным уравнением относительно матрицы которое, как известно [22], имеет лишь тривиальное (нулевое) решение, если отсутствуют одинаковые собственные числа матриц (у матриц собственные числа одинаковы). В этом случае следовательно, в (6.26) при

Пусть однородное стационарное уравнение невозмущаемой системы, для которого фундаментальная матрица. Тогда

Если собственное число матрицы А, то, используя (6.29) и равенство нетрудно проверить, что собственное число матрицы определится равенством

Поэтому собственные числа матриц имеют вид

Из (6.30) видно, что матрицы не могут иметь одинаковых собственных чисел, если, например, все имеют отрицательные действительные части и, следовательно, система асимптотически устойчива в разомкнутом (неуправляемом) состоянии. Для такой системы выполнится равенство следовательно, при любом случайные векторы сходятся в среднеквадратичном к случайным векторам если только справедливы равенства (4.147) и (6.23).

Из приведенных результатов следует, что алгоритм ОРФ при измерениях модели 1 обычно обладает статистической устойчивостью по отношению к ошибкам априорных; статистических характеристик: переходя в алгоритм НОРФ, он сохраняет свойства «оценивателя» для широкого круга имеющих прикладное значение условий.

Свойства алгоритма НОРФ как «оценивателя» в среднем характеризуются скоростью убывания функции свойства алгоритма НОРФ как «оценивателя» в среднеквадратичном характеризуются скоростью убывания функции и функции