§ 3.7. Структура оптимального терминального управления

Используя полученные выше представления о характере функций условных рисков, проведем качественное рассмотрение особенностей оптимального терминального управления в общем случае. Напомним, что размерность вектора управления и равна рангу матрицы причем Величина равна размерности гиперплоскости, образованной векторами где Область достижимости область векторов при лежит в

Рассмотрим общий случай, в котором В этом случае любой вектор единственным образом можно представить в виде

где вектор, перпендикулярный гиперплоскости что описывается условием Векторы образуют пространство размерности

Известно, что минимум выпуклой вниз функции достигается на выпуклом множестве, на котором функция постоянна. Поэтому при фиксированном векторе минимум по и выпуклой по и функции достигается на векторах

принадлежащих некоторому выпуклому множеству лежащему в гиперплоскости Из свойства с» следует, что ограниченная область. Ясно, что является областью точек касания гиперплоскости поверхности уровня выпуклой

вниз функции (поверхности, определяемой уравнением Заметим, что эта поверхность находится в по одну сторону от гиперплоскости так как область с выпукла. Если поверхность не содержит линейчатых элементов, то область состоит из одной точки.

Нетрудно показать, что неубывающая функция Действительно,

или

Но по определению вектора

Поэтому

Рассмотрим задачу (3.29) минимизации функции если вектор представлен в виде (3.72). Так как векторы образуют в 8 семейство, зависящее от параметров, то уменьшается множество принадлежащих точек в которых стохастическим или нелинейным программированием приходится минимизировать по и функцию При каждом векторе вначале минимизируется по и (без учета ограничения на функция и находится минимизирующий вектор Вектор является одним из векторов семейства

Возможно несколько ситуаций.

1. Пусть Ясно, что в этом случае

так как минимум функций

2. Пусть найдется вектор такой, что . Это означает существование вектора и такого, что

при и

то решением задачи (3.29) является вектор оптимального управления для которого

Такой вектор существует, и из

Чтобы получить явное выражение для рассмотрим следующую задачу. Пусть матрица имеет ранг и первые ее строк линейно независимы. Векторы порождают в -мерную гиперплоскость Существует ортогональная матрица такая, что у матрицы строки с номерами состоят из равных нулю элементов. Для этого достаточно, чтобы первых векторов-строк матрицы лежали в гиперплоскости а последние векторы-строки матрицы были перпендикулярны Первые векторов-строк матрицы являются ортонормированным базисом в пространстве совпадающем с гиперплоскостью а первые строк матрицы составляющие квадратную матрицу являются координатами в этом базисе линейно независимых векторов-столбцов матрицы Поэтому матрица неособенная.

Если то у вектора равны нулю элементы с номерами а первые элементов образуют вектор

Пусть необходимо решить относительно и совместное уравнение

Умножим слева на и получим откуда

Чтобы получить решение (3.77) в явном виде, умножим его слева на и учтем, что матрица неособенная. Получим

Докажем, что правые части (3.78), (3.79) равпы. Действительно, учитывая, что получим

Итак, (3.79) — явное решение (3.77). Применяя (3.79) к уравнению получим

Следует подчеркнуть, что оптимальное управление неоднозначно зависит от вектора если область, отличная от точки. Действительно, в этом случае существует, вообще говоря, множество векторов удовлетворяющих при данном соотношению (3.76), и, следовательно, существует множество векторов оптимального управления определяемых (3.80).

Итак, при и оптимальном (линейном!) управлении по формуле (3.80) величина функции минимальна, причем

3. Пусть теперь вектор не принадлежит при любом В этом случае методами нелинейного или стохастического программирования численно решается задача (3.29) — задача минимизации выпуклой функция от и на выпуклой области Ясно, что вектор принадлежит границе области (вектор принадлежит границе области

Итак, при (для любого оптимальное управление релейно (модуль хотя бы одной из компонент вектора достигает предельного значения

Вид функций минимальных условных рисков в общем случае достаточно сложен. Основываясь на вышеизложенном, можно лишь утверждать, что на множестве векторов принадлежащих гиперплоскости функция принимает постоянное (минимальное) значение при векторах определяемых условием

где Ясно, что векторы удовлетворяющие (3.81), образуют выпуклую область.

В рассмотренном ранее случае гиперплоскость совпадает с а минимум на равен Поэтому область состоит из одной точки