§ 1.10. Уравнения оптимизации при случайном моменте остановки процесса измерений

Рассмотренные выше уравнения оптимизации определяли как оптимальные векторы управлений, так и оптимальные случайные моменты остановки управления: в § 1.8 и 1.9 это были или случайный момент полного израсходования энергетики или случайный момент полного израсходования числа участков управления

Рассмотрим ситуацию, в которой наряду с векторами оптимальных управлений надо определить правило оптимальной остановки процесса измерений, если по-прежнему заданы моменты в которых могут проводиться измерения (возникающая при этом задача относится к числу задач последовательного статистического анализа [57]). Пусть без ошибок измеряются в моменты векторы фазовых координат задана терминальная функция потерь и известно, что стоимость затрат на измерения в момент равна Оптимальное управление должно сделать минимальным среднее значение числа, зависящего как от терминальной функции потерь, так и от затрат на измерения. Поэтому естественно определить средний риск формулой

где случайный момент прекращения измерений.

Пусть - минимальный условный средний риск:

при условии, в момент возможны два альтернативных решения.

Решение 1. После измерений в момент компонент вектора и уплаты за это стоимости затрат измерения не прекращаются и, следовательно, в будущий момент будет зафиксирован некоторый вектор

Решение 2. Измерения в момент компонент вектора являются последними измерениями.

Обозначим через минимальные условные средние риски, если выбраны решения 1 или 2 соответственно. Очевидно, что

При выборе решения 1 из (1.93) определяется оптимальный вектор управления при выборе решения 2 из (1.94) определяются оптимальные векторы управлений на интервале Ясно, что Поэтому, если то и в момент известно, что измерения должны быть продолжены по крайней мере до момента то и известно, что после момента целесообразно измерения не производить. Гиперповерхность, определяемая уравнением вырезает в область оптимальной остановки процесса измерений.

Рекуррентные уравнения оптимизации имеют вид

Минимальный средний риск

Если вместо марковской последовательности векторов измеряются векторы и алгоритмом обработки информации генерируется марковская последовательность векторов достаточных статистик то уравнения оптимизации не изменяются, если в (1.93), (1.94) векторы заменить соответственно на

Из уравнений (1.95) нетрудно получить рекуррентные уравнения для определения вектора оптимальной оценки вектора при учете стоимости измерений и положительной функции определяющей качество оценивания. При этом предполагается, что векторы управлений динамической системой — некоторые заданные функции векторов достаточных статистик: Средний риск представляется формулой

где некоторая функция результатов измерений, производимых последний раз в случайный момент остановки измерений: Пусть минимальный условный средний риск:

вычисляемый при условии, что в момент вектор достаточных статистик вектора равен а стоимость затрат на измерения до момента не учитывается (при определении приходится считать, что измерения проводились, начиная с момента так как

Определим функции формулами

и учтем, что Тогда функции последовательно определяются из уравнений вида (1.95),

в которых заменен на Алгоритм последовательного статистического анализа в момент сравнивает величины Если то решение вопроса об оптимальной оценке будущего вектора откладывается по крайней мере до момента Если то после момента измерения не производятся и оптимальной оценкой вектора принимается вектор определяемый при операции минимизации в правой части (1.99). В этом случае при вычислении функции необходимо считать, что векторы управлений являются некоторыми функциями вектора По аналогии с уравнениями (1.70) нетрудно выписать рекуррентные уравнения для задачи, полученной объединением задачи дуального управления и задачи последовательного статистического анализа.