§ 9.7. Аппроксимация плотности вероятности вектора фазовых координат

1. Допустим, что в некоторые компоненты вектора определяемого (2.116), входят слагаемыми неполиномиальные функции Тогда в правые части уравнений (9.44) -(9.47) войдут слагаемые

где плотность вероятности вектора х. Для вычисления правых частей (9.51)-(9.54) необходима удобная аппроксимация функции которая должна параметрически зависеть от текущих величин определяемых в процессе интегрирования уравнений (9.44) — (9.47), переходить в плотность вероятности многомерного нормального распределения при позволять вычисление интегралов в правых частях сводить к задаче вычисления этих интегралов, если плотность вероятности многомерного нормального распределения.

Рассмотрим вначале методику аппроксимации функции в (9.51), если функция одной переменной х (для сокращения записи формул индексы опускаем), для которой в текущий момент определены статистические характеристики дисперсия центральный момент I-го порядка). В этом случае функция одной переменной, которую аппроксимируем отрезком ряда, аналогичного по структуре ряду Грамма — Шарлье [43]:

где задает длину ряда, полиномы Эрмита, задаваемые для сокращения получаемых формул не (2.135), а формулой

зависящие от коэффициенты. Полиномы задает также производящая функция

Дифференцируя обе части (9.57) по а и приравнивая в правой и левой частях коэффициенты при найдем рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно вычислять

при начальных условиях

Основное тождество, обеспечивающее практическое использование представления (9.55), имеет вид

В справедливости (9.59) убеждаемся при -кратном интегрировании по частям учитывая (9.56).

Положим где При из (9.59) найдем При получим если нечетное число, и если четное число (при

Здесь центральный момент порядка нормального распределения. Из положив найдем

Проинтегрируем от до обе части (9.55) после умножения на Используя выражения для

последовательно получим

и т. д. Величины выражаются через если «гипотеза урезания» используется при

Из (9.55) найдем

Если аналитическая функция, то, положив в сведем вычисление членов ряда (9.61) к вычислению интегралов без полиномов различные случаи выражения которых через известные функции подробно рассмотрены в существующей литературе (например, [26], [43]), посвященной исследованию динамических систем методом статистической линеаризации (или в нормальном приближении). В этом случае полиномы при присутствуют в представлении (9.55) «символически», так как не приходится вычислять их конкретные значения при определении

2. Пусть или ее производные определенного порядка имеют разрывы при некоторых значениях аргумента. Тогда при соответствующей величине в (9.59) функция станет суммой дельта-функций и интеграл равен линейной комбинации величин подынтегральной функции в некоторых точках. Так, пусть, например, кусочно-постоянная функция, равная различным постоянным значениям на заданных интервалах изменения х. Обозначим через значения х, при которых совершает скачки на величины Например, для релейной характеристики с зоной нечувствительности шириной

Положим в и учтем, что для кусочно-постоянной функции

где дельта-функция. Тогда из (9.59)

При получпм интеграл из методики нормального приближения, легко представляемый линейной комбинацией значений функции Величины последовательно вычисляются по (9.58).

Пусть кусочно-линейная функция. Такой вид имеет, например, характеристика линейного элемента с насыщением и зоной нечувствительности. Тогда кусочно-постоянная функция. Поэтому, положив в придем при к 2 к формуле типа (9.62), которой заменено на где угловые коэффициенты в точках

При величины интеграла выражаются через значения функции Наконец, возможны функции для которых интегралы не выражаются через известные функции или выражения очень сложны и неудобны для практической реализации на ЦВМ. В этом случае целесообразно производить вычисление этих интегралов не по аналитическим формулам, а с помощью описанных в § 2.13 одномерных квадратурных формул наивысшей алгебраической точности.

3. Описанная методика недостаточна, так как даже при функции одной переменной — необходимо, как следует из уметь аппроксимировать функции зависящие от 2, 3 и т. д. переменных. Поэтому нужна аппроксимация функции где вектор размерности для которого в текущий момент времени интегрированием уравнений (9.52)-(9.54) определены статистические характеристики: вектор м. о. х, к. м. С, центральные моменты где Далее, к. м. С предполагается неособенной. Естественным обобщением формулы (9.55) может служить следующее представление функции [32]:

где

К задает длину ряда полиномы Эрмита

переменных [4], определяемые или формулой

или производящей функцией

зависящие от коэффициенты, называемые [32] «квазимоментами порядка».

Покажем, что для полиномов существует рекуррентное соотношение, аналогичное (9.58). Продифференцируем (9.65) по сравнивая в правой и левой частях коэффициенты при Получим

где столбец матрицы элементы столбца. Полиномы последовательно рассчитываются по (9.66), если учесть следующие из (9.64) начальные условия

Справедливо, аналогично (9.59), основное тождество, обеспечивающее практическое использование полиномов Пусть функция переменных и Тогда

где Тождество (9.67) получим, если первоначальное выражение для проинтегрировать по частям раз по раз по учитывая (9.64).

Положим Из (9.67) следует, что если найдется то (положив получим если то (положив получим

В этом случае величина пропорциональна центральному моменту многомерного нормального распределения, который из при имеет известное выражение через элементы матрицы С [43], и, следовательно, не равна нулю, лишь если к — четное число. Временно для сокращения записи формул опускаем и вместо обозначаем Приведенные выше соотношения позволяют построить рекуррентный процесс для определения квазимоментов Проинтегрируем по обе части (9.63) после умножения на д., где Тогда, пользуясь (9.68), получим рекуррентные выражения для квазимоментов данного порядка через центральные моменты данного и низших порядков и квазимоменты низших порядков. При этом ясно, что квазимомент, линейно зависит от квазимомента низшего порядка если четное число.

Приведем полученные из (9.68) выражения для квазимоментов по 5-й порядок, считая, что зависит от четырех переменных:

(см. скан)

Выражения для остальных квазимоментов получим соответствующей перестановкой индексов (заменой на на и т. д.).

Вернемся теперь к старым обозначениям. Тогда приведенные соотношения являются частным случаем общей рекуррентной формулы, доказываемой по индукции:

где а суммирование распространяется на всевозможные совокупности целых чисел удовлетворяющих условиям В (9.69) надо, конечно, положить равными 0 нечетные центральные моменты нормального распределения и Величины при выражаются через при использовании

«гипотезы урезания» с

Пусть функция переменных. Из (9.63) найдем

Если аналитическая функция, то, положив в ликвидируем полиномы в подынтегральном выражении и сведем задачу к вычислению многомерных интегралов, возникающих при использовании методики нормального приближения. В этом случае полиномы присутствуют в представлении (9.63) «символически», так как для определения не надо вычислять их конкретных значений. Если или ее частные производные имеют разрывы, то (аналогично одномерному случаю) при выборе соответствующих величин в (9.67) подынтегральные функции в интегралах станут линейной комбинацией дельта-функций, а сами интегралы — линейной комбинацией значений полиномов в некоторых точках. Для вычисления этих интегралов используем рекуррентное соотношение (9.66), при применении которого надо определять матрицу обратную матрице С.

В ряде случаев может оказаться целесообразным вычислять величины используя описанное в § 2.13 обобщение на многомерный случай квадратурных формул паивысшей алгебраической точности.

Из вышеизложенного видно, что аппроксимация плотности вероятности вектора фазовых координат и методы вычисления м. о. различных функций от них не требуют явного использования ортогональности полиномов и биортогональности полиномов и полиномов [4], которые можно, например, задать равенством При вычислении м. о. от разрывных функций может оказаться удобнее в (9.63), (9.67) заменить на так как полиномы удовлетворяют более простому, чем (9.66), рекуррентному соотношению

Из §§ 9.6, 9.7 следует, что использование описанной методики для вычисления текущих статистических характеристик фазовых координат динамических систем при аппроксимации любым числом членов рядов (9.55), (9.65) не встречает никаких новых принципиальных

технических трудностей по сравнению с вычислением этих характеристик в нормальном приближении. И в том и в другом случае основные трудности могут возникнуть при вычислении интегралов - м. о. «экзотических» нелинейных функций в нормальном приближении.

Отметим, что дифференциальные уравнения эволюции статистических характеристик можно, как показано в [13], записывать не относительно центральных моментов, а относительно квазимоментов.