§ 4.10. Алгоритм ОРФ при измерениях модели 1 (алгоритм Калмана)

1. Пусть линейная (при отсутствии управления) динамическая система вида (3.1) возмущается нормальным белым шумом а векторы обратной связи в моменты

имеют вид

где матрицы независимые векторы случайных ошибок измерений. Как следует из (3.10) (положив или обозначив через векторы удовлетворяют соотношениям

Далее полагаем, что вектор распределен нормально с априорными параметрами — вектором а векторы условно (при фиксированных нормально распределены, причем

где заданные к. м. соответствующих размерностей. Заметим, что к. равна правой части (3.16) при замене к на

Для определения условного (при фиксированных распределения вектора воспользуемся рекуррентными соотношениями § 4.6, положив

Подставив в из (4.78), получим, что удовлетворяют (4.34), (4.35), если положить

Считая независимыми получим

Из найдем

Так как то в соответствии с доказанным в § 4.6 условное распределение вектора будет нормальным. Его параметры определятся формулами вида (4.41), (4.42), в которых, как следует из надо положить

Формулы (4.41), (4.42) примут вид

Они определяют алгоритм ОРФ при измерениях модели 1.

Первый шаг алгоритма определяется (4.94), (4.95), если положить и учесть (4.86). Величины целесообразно определять по формулам (4.90) и (4.91), если нетрудно найти явные выражения для фундаментальной матрицы уравнения (3.1) и для к.

В противном случае надо определять численным интегрированием.

2. Из (4.90) следует, что где удовлетворяет уравнению

которое численно интегрируется от до при начальном условии Аналогично, из (4.91) следует, что где удовлетворяет уравнению

которое численно интегрируется от до при начальном условии

Иногда вместо численного интегрирования для сокращения объема вычислений целесообразно использовать

приближенное представление фундаментальной матрицы отрезком степенного ряда. При соответствующей дифференцируемости матрицы матрицу можно разложить в ряд по степеням

Но

и т. д. Отсюда получим

Поэтому, например, для стационарной системы

где

Ниже будет изложена методика численного анализа влияния на параметры условного распределения ошибок учета фундаментальной матрицы, возникающих из-за ошибок численного интегрирования.

3. В основополагающей работе [27] алгоритм ОРФ найден при независимости случайных векторов и для и для всех что соответствует замене равенств (4.79) — (4.81) их частным случаем:

Соответствующий алгоритм ОРФ получим, если в (4.92), (4.93) положим Именно такой алгоритм и называют обычно «стандартным дискретным фильтром Калмана».

Заметим, что в [44, стр. 282] «обобщенным дискретным фильтром Калмана» назван алгоритм, учитывающий возможную корреляцию случайных векторов и (алгоритм учитывает возможную корреляцию векторов задаваемую Учет корреляции векторов и производится следующим способом [19, стр. в правую часть (4.78) добавляют равный нулю вектор в котором матрцца выбирается из условия некоррелировапдости

векторов и Уравнение (4.78) заменяется уравнением

и для оценки векторов по измерениям (4.77) используется стандартный дискретный фильтр Калмана.

4. Выше алгоритм ОРФ Калмана был получен как частный случай алгоритма (4.36) -(4.42). Покажем, что, наоборот, алгоритм ОРФ (4.36) -(4.42) может быть найден как вырожденная форма алгоритма ОРФ Калмана. Пусть После очевидного разбиения векторов и матриц на соответствующие блоки уравнения динамической системы (4.78) можно записать в виде уравнений (4.34), (4.35). Тогда к. в (4.79) может быть разбита на блоки, определяемые Векторы измерений равны измеряемым без ошибок векторам Алгоритм ОРФ для оптимальной оценки компонент векторов получим из алгоритма ОРФ Калмана (4.89) -(4.95) при

Временно в этом алгоритме матрицы обозначим через Докажем по индукции, что в данном случае к. имеет вид

априорную к. м. вектора разобьем на блоки:

Тогда из (4.92), (4.93)

Из (4.95) при

Итак, равенство (4.98) доказано при прнчем

Пусть (4.98) справедливо при замене к на к — 1. Тогда из (4.91) — (4.93) найдем

где матрицы определяются формулами (4.38)-(4.40). Подставляя соответствующие матрицы в (4.95), найдем, что справедливо (4.98), причем к. определяется формулой (4.42).

Рассмотрим, какой вид имеют формулы для векторов векторов оптимальной оценки векторов Учтем, что в данном случае

где определяются (4.36), (4.37). Подставляя соответствующие векторы в (4.94), найдем

где

Итак, из алгоритма ОРФ Калмана получен алгоритм ОРФ (4.36) -(4.42).

5. Свойства алгоритма ОРФ Калмана как оценивателя неизвестных чисел (компонент вектора целиком определяются матрицей (матричным множителем перед вектором в (4.94)), и поэтому нежелательны ошибки вычислений ее элементов. Если высока априорная точность измерений (малы дисперсии ошибок измерений — диагональные элементы к. а случайные возмущения динамической системы малы или отсутствуют, то через несколько шагов алгоритма ОРФ порядок величин элементов матрицы начинает резко отличаться от порядка величин элементов матрицы (точнее, надо было бы говорить о резком различии порядков норм матриц и обычно норма мала, а норма велика), что приводит к появлению ошибок при вычислении произведения Поэтому

целесообразно применять измененный алгоритм ОРФ, который мы условно назовем «нормированным».

Пусть из эвристических соображений выбраны нормирующие множители Нормированные априорные к. м. введем соотношениями

Матрицы определим рекуррентной формулой (при

а матрицы определяются (4.95), если заменить на матрицы определяются (4.92) при замене на По индукции легко проверить справедливость формул

Поэтому

и, следовательно, не изменился ответственный за оценивание матричный множитель в правой части (4.94).

Обычно диагональные элементы к. имеют одинаковый порядок. Выбирая равным одному из диагональных элементов к. можно сделать близкими порядки чисел, являющихся элементами матриц Нормированный алгоритм ОРФ легче масштабируется, чем первоначальный алгоритм при реализации на БЦВМ с фиксированной запятой.

Аналогично вышеизложенному записывается в нормированном виде и алгоритм ОРФ (4.36) -(4.42) и далее получаемые алгоритмы ОРФ при измерениях модели 2.

6. При алгоритм ОРФ Калмана можно представить формулами, в которые входит не условная к. м. а матрица корень квадратный из к. [63]:

Допустим, что получена матрица корень квадратный из к. Тогда при формулу (4.95) перепишем в виде, аналогичном (4.263), если матрицы соответственно заменить Из (4.264), (4.266) найдем

где

Матрицу вошедшую в приведенные выше формулы, найдем из (4.91), если на предшествующем шаге вычислений получена матрица корень квадратный из условной к. При из (4.91) сразу получим

Иначе, где удовлетворяет уравнению которое численно интегрируется от до при начальном условии При необходимо использовать алгоритм извлечения квадратного корня из матрицы (например, аналогичный описанному в § 2.14) или из матрицы, полученной численным интегрированием уравнения (4.97). Иначе, где удовлетворяет уравнению которое численно интегрируется от до при Матрица удовлетворяет линейному матричному уравнению которое имеет единственное решение, если матрицы не имеют одинаковых собственных чисел (для этого матрица не должна иметь собственных чисел, равных нулю и равных по модулю, но разных знаков). Алгоритм ОРФ Калмана в изложенной форме считается более предпочтительным для реализации на ЦВМ, чем алгоритм в форме (4.94), (4.95). Однако пока в известной литературе отсутствует доказательство того, что ошибки вычислений при использовании матрицы меньше ухудшают точность оценивания, чем при использовании матрицы