§ 6.3. Анализ влияния вектора «ухода нулей» и формирующего фильтра случайных возмущений

1. При выборе математической модели системы, используемой в алгоритмах рекуррентной фильтрации, часто возникают различные альтернативы из-за возможного существования медленно меняющихся случайных, возмущений, обычно называемых «уходом нулей» аппаратуры системы. Примером «ухода нулей» служат, например, три угловые скорости «дрейфа» гироплатформы системы инерциальной навигации, которые часто считают случайными на множестве полетов летательного аппарата, но постоянными в данном полете. «Уходы нулей» аналогичной (или более сложной) модели существуют у усилителей мощности исполнительных элементов системы управления, у измерителей — датчиков информации и т. д.

Обозначим через вектор «увдда нулей» размерности и рассмотрим общий случай, когда вектор действует и на динамическую систему, и на результаты измерений. Тогда вектор измерений и уравнение системы можно представить в вцде

где некоторые матрицы соответствующей размерности. Имеется много альтернатив при выборе формирующего фильтра для вектора Так, если принять, что постоянный в данной реализации вектор, то описание формирующего фильтра имеет вид

Описание вектора «ухода нулей» станет более «надежным», если расширить класс допустимых, функций приняв, что упомянутым свойством обладает не вектор Тогда

Определение параметров условного распределения векторов при учете формирующего фильтра вида (6.33) или (6.34) или более сложного осуществляется алгоритмами ОРФ с расширенными векторами фазовых координат, полученными объединением векторов или и т. д. В принципе усложнение формирующего фильтра должно увеличить в некотором смысле «надежность» определения (конечно, при наличии правдоподобных представлений о дисперсиях векторов или и т. д.). Однако «проклятие размерности» получаемых при этом векторов и матриц может привести к обратным результатам. Поэтому целесообразна постановка следующей задачи. Пусть «природа» определяет векторы уравнением (6.31) и

причем уравнение для дискретного формирующего фильтра имеет вид

Для сокращения объема вычислений используем не алгоритм ОРФ, а алгоритм НОРФ с упрощенной моделью «природы»: не будем учитывать векторы «ухода нулей», положив в и в Надо найти дисперсии элементов вектора ошибок векторы условных м. о. векторов полученные при использовании в алгоритме соответственно упрощенной и полной моделей «природы».

Для сведения поставленной задачи к рассмотренной в § 6.2 задаче анализа чувствительности векторов условных м. о. к ошибкам априорных статистических данных примем, что

и введем следующие векторы и матрицы:

Вектор получим из уравнений вида (4.89) -(4.95), если заменить на (переобозначив на а вектор найдем, если в этих уравнениях матрицы и С заменить на и , полученные при Таким образом, упрощенная модель «природы» получается из полной модели, если специальным образом изменить априорные статистические характеристики вектора и вектора случайных возмущений динамической системы, порождающей векторы найдем

и, следовательно, для определения дисперсий элементов векторов достаточно найти к. м. вектора вектор м. о. и к. м. вектора будут удовлетворять уравнениям вида (6.8) и (6.16):

где

Так как то (6.39) используется при следовательно,

Рекуррентное уравнение (6.40) используется при начальном условии Заметим, что матрица имеет вид

где матрицы рассчитываются по формулам (4.91) - (4.93), (4.95).

Производя расчет по (6.40), получим последовательность матриц у которых левые верхние блоки размерности являются матрицами к. м. векторов Сопоставляя диагональные элементы матриц с первыми диагональными элементами матриц можно оценить значимость ошибок определения векторов условных, м. о., возникающих при переходе от полной модели к упрощенной.

2. По аналогичной методике проводится анализ влияния неучета формирующего фильтра случайных возмущений. Пусть, например, в упрощенной модели случайные векторы в (4.78) считаются независимыми и имеющими к. а в полной модели для них существует формирующий фильтр

причем независимы и имеют к. м. Для сокращения вычислений вместо алгоритма ОРФ используем алгоритм НОРФ с упрощенной моделью, уменьшающей с до до размерность векторов и ряда матриц. Полная модель «природы» при опишется уравнениями

где Упрощенная модель имеет вид

где

К. м. соответствующих векторов находим по изложенной выше методике, положив и