§ 2.4. Оценка накопления ошибок из-за линейной интерполяции

Численная оптимизация управления является многошаговым процессом, на результаты которого влияет линейная интерполяция, вызывающая появление дополнительных ошибок — функций

Здесь функции определяются последовательным

точным решением уравнений вида (2.1), (2.2) в узлах решетки областей с использованием формулы многомерной линейной интерполяции, а функции определяются последовательным точным решением уравнений вида (1.37) - (1.39) при замене х на на х.

Допустим, что функции выпуклы вниз, и оценим функцию определяемую равенством

где заданные целые числа, точка с координатами Учитывая (2.9), получим

Применяя формулу (2.12), найдем

где компоненты вектора Подставляя (2.18) в (2.17), получим после перемены порядка суммирования:

Так как

то

и, следовательно, равен нулю первый член в правой части (2.19). Используя неравенство (2.13), найдем

где — наибольшее собственное число матрицы Из (2.19) и (2.22), учитывая (2.21) и (2.9) при замене на получим

Но максимальное значение произведения равно

1/4. Поэтому окончательно

Пусть для всех узлов решетки области справедливо неравенство

где верхняя грань чисел Оценка (2.24) позволяет оценить сверху функцию при Для этого учтем, что

Используя оценку (2.24) и (2.25) и учитывая, что получим

Из (2.27) видио, что задача получения оценки сверху для функции сводится к задаче получения оценки для Далее используется очевидное

утверждение: для произвольных функций и справедливо неравенство

где

Найдем связь между Из (2.2) получим, используя (2.28):

Из (2.29) видно, что если то

а значит, и как следует из (2.26). Но По индукции получим . Тогда из (2.29) следует неравенство и из (2.27) найдем

Но

Используя последовательно (2.30), получим оценку для

Неравенство (2.31) показывает, что с увеличением числа шагов оптимизации (уменьшением числа к) происходит увеличение оценки для разностей вызванных конечным числом узлов решеток областей используемых при линейной интерполяции. Однако эти разности имеют второй порядок малости относительно величин определяющих длины ребер элементарных параллелепипедов, на которые разбиваются области

Процесс оптимизации завершается вычислением величины

где плотность вероятности априорного распределения вектора Разность — величина среднего риска, получаемая при использовании векторов оптимальных управлений найденных при точном решении рекуррентных уравнений (1.37) -(1.39)) оценивается неравенством, получаемым из (2.31) при

где у — максимальное из собственных чисел матриц при ; — максимальная длина ребер элементарных параллелепипедов. Из (2.33) видно, что величина возникающая из-за линейной интерполяции, не будет возрастать с ростом если длины ребер элементарных параллелепипедов пропорциональны

В результате вычислений в память ЦВМ (память контура управления динамической системой) для будет занесено компонент векторов Ясно, что величина имеет смысл среднего риска при следующей конструкции стохастического управления: если в момент измеряемый без ошибок вектор фазовых координат х совпал с одним из узлов то на интервале вектор управления равен занесенному в память вектору если х не совпал с то определяется решением относительно и уравнения

где функция определяется формулой (2.8). Только в этом случае неравенство (2.33) дает оценку величины ухудшения качества управлений из-за того, что используются не векторы оптимальных управлений а векторы сконструированные выше.

Конечно, определять при векторы из (2.34) нереально. В этом случае естественно использовать многомерную линейную интерполяцию вида

Средний риск при управлении по формуле (2.35) должен быть близок к из (2.32), так как вектор из (2.35) близок к из эти векторы совпадают, а решение уравнения (2.34) должно непрерывно меняться при движении от узла к точке х внутри элементарного параллелепипеда).