§ 4.4. Последовательный: алгоритм

Алгоритм определения параметров условного распределения, представленный формулами (4.2), (4.3), в общем случае неприменим, так как требует, чтобы к. была неособенной. Кроме того, даже при неособенной алгоритм неудобен, так как требует обращения матрицы порядка IX I, что при большой величине I может вызвать вычислительные трудности.

Опишем предложенный в [10] последовательный алгоритм (ПА) определения параметров условного распределения, свободный от отмеченных недостатков алгоритма (4.2), (4.3).

ПА основан на следующих очевидных соображениях. Пусть компоненты вектора и надо найти функцию условного распределения Для этого зафиксируем и найдем далее зафиксируем и найдем и т. д. На (последнем шаге зафиксируем и из получим условное распределение и его параметры: вектор оканчивается на шаге, если к. неособенная. В противном случае ПА оканчивается за меньшее число шагов.

Пусть после шагов ПА произошла фиксация компонент и получены параметры условного распределения вектора, составление 1 I гл ного из компоненту и вектора Этот вектор имеет размерность так как обозначим его через Допустим, что в к. оказались равны нулю элементы, принадлежащие первым столбцам и, из-за симметрии принадлежащие первым ее строкам (из неотрицательной определенности к. следует, что для этого достаточно равенства нулю первых диагональных элементов к.

Это означает, что при фиксированных не случайны первые компонент вектора (они являются линейными комбинациями и их исключение (если из вектора не изменит искомого условного распределения вектора Обозначим: вектор — матрица

полученные вычеркиванием из соответственно первых компонент и первых строк и столбцов; первая компонента вектора вектор полученный вычеркиванием из компоненты первый диагональный элемент матрицы условию вектор полученный вычеркиванием элемента из первого столбца матрицы матрица полученная вычеркиванием первых столбца и строки матрицы

Перед шагом и в соответствии с принятыми обозначениями надо положить обозначить вектор, составленный из компопепт векторов Далее, от переходим к где число первых равных нулю диагональных элементов к. Фиксируем компоненты (элементы не случайны) и по формулам (4.2), (4.3) при находим параметры условного распределения вектора :

где

Дальнейшие шаги ПА определяются рекуррентными формулами

где закончится на шаге если

В случаях 1) и 2) искомые параметры условного распределения вектора определятся соответственно равенствами

В случае 3) вектор и матрицу получим, вычеркивая из вектора и матрицы соответственно их первые компоненты и первые столбцы и строки. Заметим, что в случае 3) в матрице равны нулю элементы первых столбцов и строк и, следовательно, первые элементов вектора связаны функциональной (линейной) зависимостью с элементами вектора

При неособенная. Число шагов равно

Как видно из вышеизложенного, ПА определяет параметры условного распределения вектора для произвольной (в том числе особенной) к. не используя операцию обращения матриц.