ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние три десятилетия прикладная проблема навигации и управления движением при наличии случайных возмущений и ошибок измерений породила большое число исследований, результатами которых оформились в самостоятельное научное направление методы получения оценок в темпе реального времени (методы рекуррентном фильтрации) и методы использования этих оценок для достижения целей управления (методы стохастического управления). В данной книге, основанной на работах автора последних лет [6] - [14], прикладные задачи фильтрации и управления рассматриваются при дискретном времени (дискретных моментах измерений) — ситуации, имеющей наибольший практический интерес для систем управления с ЦВМ (решения задач с непрерывным временем в реальных системах управления неприменимы). Главы 1—3, 8 посвящены задачам выбора дискретного стохастического управления, а главы 4—7, 9 — задачам выбора алгоритмов дискретной рекуррентной фильтрации.

В главе 1 для различных постановок задач синтеза оптимального стохастического управления (при ограничениях на векторы управлений, на энергозатраты, на число участков управления, при случайных моментах окончания измерений и управления) выводятся рекуррентные уравнения для функций условных рисков (функций Беллмаиа) в предположении существования марковской последовательности достаточных статистик векторов фазовых координат оптимизируемой стохастической системы в моменты измерений. Это предположение позволило в общем случае сформулировать принцип разделения, обычно излагаемый лишь для линейных систем при квадратичном критерии качества, рассмотреть задачу оценивания как частный случай задачи управления, получить уравнения дуального управления.

В главе 2 изучается задача численного решения рекуррентных уравнений при использовании многомерной

линейной интерполяции и проводится анализ накопления ошибок. Рассматриваются алгоритмы оптимизации, основанные на методах стохастического программирования при вычислении стохастических квазиградиентов и стохастических градиентов и на методах нелинейного программирования при численном интегрировании уравнений эволюции статистических характеристик в нормальном приближении, сочетаемом с алгоритмом извлечения квадратного корня из корреляционных матриц и их исправлением. Для произвольных видов нелинейностей правые части этих уравнений могут вычисляться с помощью многомерного обобщения квадратурных формул наивысшей алгебраической точности. Численный пример дает представление о точности такого вычисления.

В главе 3 методы главы 2 применяются в задаче оптимизации стохастического управления линейной (в разомкнутом состоянии) стохастической системой при условии, что ее координаты в дискретные моменты времени измеряются без ошибок. Проводится качественное исследование вида функций условных рисков и структур оптимального терминального управления в скалярном и векторном случаях, облегчающее применение численных методов, описываются методика определения областей оптимизации и особенности алгоритма численной оптимизации терминального управления. Рассматриваются два случая аналитического решения задачи синтеза: при одномерном, симметрично ограниченном управлении и четной функции потерь, не убывающей при положительном аргументе, и при отсутствии ограничений на вектор управления и квадратичной функции потерь. Для задач оптимизации терминального управления при ограничении числа участков управления, при случайном моменте окончания измерений, при ограничении на энергетику управления описывается методика определения областей «нечувствительности» управления и даются рекомендации по построению алгоритмов оптимизации. Приводятся результаты численной оптимизации в функции числа измерений стратегии одноимпульсного управления в случае, когда условный риск является вероятностью непопадания в заданный отрезок.

В главе 4 выводятся различные варианты алгоритмов рекуррентной фильтрации фазовых координат линейной стохастической системы, выходом которых при нормальном распределении первичных случайных факторов

служат условные математические ожидания этих координат — векторы оценок, оптимальные по среднеквадратичному критерию. Эти варианты соответствуют случаям независимых ошибок измерений (модель 1), отсутствию ошибок измерений (модель 2), ошибкам измерений, получаемым на выходе некоторого формирующего фильтра (модель 2), смешанной модели ошибок измерений. Показывается, что эти алгоритмы являются той или иной формой алгоритма Калмана и получаются в результате применения леммы о параметрах условного нормального распределения при определении достаточных статистик марковской последовательности случайных векторов, у которых часть компонент измеряется без ошибок. Выводится последовательная форма алгоритмов, не требующая обращения матриц. Рассматривается стохастическая наблюдаемость, достаточным условием выполнения которой служат, например, известные условия детерминированной наблюдаемости Калмана. Для ряда случаев модели 1 исследуются параметры предельных условных распределений, получаемых при неограниченном увеличении числа измерений или интервала между измерениями. Изучаются параметры локального распределения — распределения ошибок оценки при фиксированных произвольных начальных условиях, характеризующие сходимость алгоритма-оценивателя в среднем или среднеквадратичном; численный пример дает представление об изменении в функции числа измерений спектральной матричной нормы, позволяющей судить о скорости убывания модуля вектора ошибок оценки.

В главе 5 алгоритмы главы 4 используются для решения возникающей в инерциальной навигации задачи оценки углов рассогласования и относительных уходов зависимой и базовой систем координат в предположении, что ошибки измерений на выходах интеграторов ускорений образуют винеровский случайный процесс. Численный пример дает представление об эволюции относительных ошибок оценки при некотором периодическом законе движения базовой системы координат.

В главе 6 точность оценки алгоритмами главы 4 исследуется при ошибках в априорных статистических характеристиках первичных случайных факторов, ошибках модели динамической системы, ошибках вычислений и показывается несовпадение в этих ситуациях характеристик априорной и апостериорной точности. Рассмотрение

параметров локального распределения доказывает устойчивость алгоритмов по отношению к ошибкам априорных статистических характеристик — сохранение свойств оценивателя для широкого круга условий. Выводятся рекуррентные уравнения, позволяющие последовательно рассчитать параметры распределений векторов ошибок оценки, возникающих из-за наличия непредусмотренных математической моделью системы вектора «ухода нулей» аппаратуры, формирующих фильтров ошибок измерений и случайных возмущений. Описывается приближенная методика определения ошибок условных корреляционных матриц, возникающих при вычислениях на БЦВМ с фиксированной запятой.

В главе 7 рассматриваются способы построения квазиоптимальных алгоритмов рекуррентной фильтрации, более удобные в реализации, чем оптимальные алгоритмы главы 4. Излагаются способы уменьшения размерности векторов и матриц, основанные на преобразовании вектора измерений и переходе от модели измерений 1 к модели измерений 2, выводятся рекуррентные уравнения для расчета параметров распределений векторов ошибок оценки квазиоптимальных алгоритмов. Приводится численный пример изменения в функции числа измерений спектральной матричной нормы, иллюстрирующей сходимость квазиоптимального алгоритма-оценивателя, и численный пример изменения относительных ошибок оценки при использовании квазиоптимального алгоритма, нечувствительного к «уходам нулей» аппаратуры датчиков информации. Излагаются варианты квазиоптимальных алгоритмов двухчастотной и аналого-дискретной рекуррентной фильтрации, уменьшающие требования к производительности БЦВМ. Рассматриваются модельные примеры использования квазиоптимальных алгоритмов при решении задач инерциально-допплеровской навигации и орбитальной навигации по данным от высотомера.

В главе 8 излагаются методы оптимизации стохастического управления при неполной ииформации, основанные на использовании алгоритмов главы 3, в которых роль векторов фазовых координат в дискретные моменты измерений играют векторы достаточных статистик, поставляемые алгоритмами оптимальной рекуррентной фильтрации главы 4. Проводится численный синтез (определяются линии переключения и линии уровня функций условных рисков) двумерного оптимального стохастического

управления мягкой посадкой, в которой условный риск представляет собой вероятность непопадания в заданную область высоты и вертикальной скорости в терминальный момент. В функции числа измерений определяются области «нечувствительности» оптимального импульсного управления, у которого последний импульс ответствен за точность, а предшествующие — за уменьшение среднего значения энергозатрат. Излагается методика определения качества управления, оптимального при среднеквадратичной функции потерь, если алгоритмы оптимальной рекуррентной фильтрации используются при ошибках априорных статистических характеристик первичных случайных факторов. Глава 9 посвящена алгоритмам нелинейной фильтрации, решающим задачу приближенного определения векторов условных математических ожиданий фазовых координат, если при нормальных распределениях первичных случайных факторов ненормальны условные распределения этих координат. Излагаются алгоритмы нелинейной фильтрации и адаптивные алгоритмы в нормальном приближении и приводится численный пример использования адаптивного алгоритма при неизвестной постоянной времени. Алгоритмы нелинейной фильтрации в ненормальном приближении строятся при использовании гипотезы «урезания» (считаются равными нулю априорные и условные семиинварианты порядка выше 4). Для дискретных моментов времени решается задача определения параметров ненормального условного распределения (вектора математического ожидания и центральных моментов), если известны результаты измерений и параметры априорных ненормальных распределений. Последние определяются численным интегрированием уравнений эволюции статистических характеристик динамической системы между измерениями в ненормальном приближении, являющимися обобщением уравнений главы 2. При вычислении правых частей этих уравнений используется аппроксимация плотности вероятности фазовых координат отрезком ряда из многомерных полиномов Эрмита, умноженного на плотность вероятности некоторого многомерного нормального распределения. Задача вычисления коэффициентов этого ряда (квазимоментов) решается с помощью полученных иптегральпого тождества и рекуррентного уравнения, которые сводят ее к вычислению многомерных интегралов, нужных для численного интегрирования уравнений нормального приближения

главы 2. Излагается алгоритм конечнозначной адаптации, в котором априорные данные о задаче адаптации сведены к нескольким моделям линейных стохастических систем и линейных измерений, одна из которых совпадает с истинной моделью. Численный пример иллюстрирует уверенную идентификацию в условиях, когда дисперсия ошибок измерений неизвестна и заданы лишь ее возможные, априори равновероятные значения. Излагается методика решения задачи минимаксной фильтрации в статистически-неопределенной ситуации, когда наряду со случайными возмущениями и ошибками измерений существуют неопределенные (нестатистические) возмущения и ошибки измерений, для которых из априорных соображений заданы лишь области существования.

Для овладения материалом книги читатель должен хорошо знать основы математического анализа, теории вероятностей и линейной алгебры в объеме курсов втуза. Дополнительные сведения из математики, необходимые для понимания материала, излагаются в соответствующих местах книги.

Автор благодарит А. Е. Егорову за апробацию ряда описанных алгоритмов и Г. Г. Богуславскую за большую помощь при оформлении рукописи.

Список литературы ни в коей мере не является библиографией по рассматриваемым в книге вопросам и содержит лишь работы, упоминаемые в тексте.

Январь 1981 г. И. Богуславский