§ 3.10. Области достижимости детерминированного терминального управления

Для назначения областей оптимизации в в которых содержательна задача синтеза оптимального стохастического терминального управления, необходимо уметь оценивать области достижимости детерминированного терминального управления и области случайных перемещений.

Пусть отсутствуют случайные возмущения Оценим область в которую может попасть в момент вектор если на «усеченную» -мерную динамическую систему, описываемую уравнением (3.20) при на интервалах действуют постоянные векторы управлений Область называется «областью достижимости» при Из (3.20) при положив получим

Из (3.89) видно, что область вложена в пространство, образуемое возможными линейными комбинациями -мерных векторов векторов-столбцов матриц Размерность этого пространства (а значит, и размерность области равна рангу матрицы размерности , составленной из всех матриц

Если где выпуклые области, то и выпуклая область. Действительно, пусть

причем Вектор тоже принадлежит так как

из-за выпуклости Поэтому область выпуклая.

Для оценки используем опорные плоскости к гиперплоскости, содержащие только граничные точки области Из-за выпуклости области последняя всегда находится по одну сторону от опорной плоскости.

Напомним методику определения точек, принадлежащих границе выпуклой области. Пусть граничная точка выпуклой области (рис. 3.2). Пусть в этой точке найдется опорная плоскость перпендикулярная некоторому единичному вектору проведенному из начала координат О. Из рис. 3.2 видно, что вектор удовлетворяет равенству

Рис. 3.2.

Заметим, что для некоторых векторов (перпендикулярных сторонам многоугольника на рис. 3.2) существует бесконечно много векторов удовлетворяющих (3.91). Определяя векторы из (3.91) для различных получим все граничные точки области

Пусть единичный вектор в Определим вектор соотношением

Из вышеизложенного следует, что конец вектора точка на грайице области такая, что опорная плоскость, проведенная в этой точке, перпендикулярна вектору

Из (3.89) получим

где элементы матрицы компонента вектора компонента вектора Пусть области симметричны и задаются условиями

Из (3.92) и (3.93) следует, что вектор определится равенством

где элемент вектора имеет вид

если

При

величина произвольно меняется в пределах, задаваемых условием (3.94).

Из сказанного выше следует, что область является многогранником в (размерность многогран: ника может быть, конечно, меньше Вершины многогранника определяются формулой (3.95), если вектор таков, что для всех выполняется условие (3.97). Геометрически условие (3.97) означает, что вектор не перпендикулярен ни одному из векторов, образованных столбцами матрицы

Если вектор таков, что для некоторых выполняется условие (3.98), то для данного равенству (3.92) удовлетворяет множество векторов Эти векторы образуются при изменении в пределах (3.94) соответствующих Полученное множество образует гиперплоскость некоторой размерности — грань многогранника Из (3.92), (3.96) видно, что

и, следовательно, область симметрична относительно начала координат.

Для получения в дальнейшем областей возможно более простой формы, заменим прямоугольным параллелепипедом который описан вокруг области и имеет грани, перпендикулярные осям координат. Для этого введем вектор единичный вектор, направленный по оси координат. У вектора

Пусть опорная плоскость, перпендикулярная Очевидно, что является гранью искомого прямоугольного параллелепипеда так как она касается (ей принадлежат граничные точки и вся область находится по одну сторону от Расстояние от начала координат до плоскости определяется равенством

Как видно из (3.93),

где из (3.96)

Параллелепипед определится условиями