§ 3.13. Оптимизация одномерного управления

Рассмотрим оптимизацию одномерного стохастического управления Область достижимости симметричный относительно точки отрезок, определяемый условием

В этом случае задача оптимизации (3.29) решается в явном виде [8]. Из изложенного выше следует, что

монотонно увеличивается с ростом Поэтому оптимальное управление должно минимизировать Если удовлетворяет (3.109), то оптимальное управление линейно:

В противном случае оптимальное управление достигает ограничения

Формулы (3.110), (3.111) следовали из формул (3.86), (3.88), применимых для функций если четная, выпуклая функция вектора Однако, если скаляр, то эти формулы остаются справедливыми при замене требования выпуклости функции менее жестким требованием: четная и пеубывающая функция от Именно этими свойствами обладает терминальная функция потерь: если если при использовании которой условный средний риск равен вероятности не попасть точке в отрезок если в момент координата усеченной динамической системы равна Докажем следующие леммы.

Лемма 3.3. Пусть

четная и убывающая функция четная и неубывающая функция тогда четная и неубывающая функция

Доказательство. так как Кроме того,

Из свойств функций при

следует, что неотрицательны оба сомножителя, образующие подынтегральную функцию в правой части (3.112). Поэтому и лемма 3.3 доказана.

Лемма 3.4. Пусть четная и неубывающая функция нечетная и неубывающая функция Тогда четная и неубывающая функция

Лемма очевидна.

Доказательство оптимальности (3.110), (3.111) проведем по индукции. Пусть четная и неубывающая функция Заменив в (3.30) на и положив получим в соответствии с леммой 3.3, что четная и неубывающая функция оптимальное управление должно минимизировать следовательно, описывается (3.110), (3.111). Функция как видно из (3.110), -нечетная и неубывающая функция Поэтому по лемме 3.4 функция

будет четной и неубывающей функцией Но по условию — четная и неубывающая функция По индукции получим, что (3.110), (3.111) описывают оптимальное управление при .

Пример. Пусть стохастическая система описывается уравнениями а минимизации подлежит величина . В этом случае

Тогда в формулах (3.110), (3.111)