ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ

§ 3.1. Объект управления

1. Будем считать, что вектор фазовых координат х удовлетворяет линейному уравнению

где матрица матрица вектор матрица вектор белых независимых, нормально распределенных шумов единичной интенсивности:

где единичная матрица дельта-функция.

Далее используются следующие свойства линейных дифференциальных уравнений. Вектор удовлетворяющий однородному уравнению связан с соотношением

где фундаментальная матрица, определяемая матричным уравнением

при начальном условии Матрица неособенная, так как

Дифференцируя (3.3) по и умножая результат справа на получим

Решение уравнения (3.1) в момент при заданном векторе описывается формулой Коши

где

Если динамическая система стационарна то

Заметим, что термин «линейная динамическая система» справедлив лишь при отсутствии управления с обратной связью, когда и — вектор-функция времени, используемая при программном управлении. Если же в результате синтеза вектор и стал функцией текущего х (производится управление с обратной связью) и по условию ограничен, то динамическая система, описываемая уравнением (3.1), нелинейна. Однородное уравнение, сопряженное уравнению (3.1), имеет вид

Транспонируя обе части уравнения (3.4), убеждаемся, что фундаментальная матрица сопряженного уравнения имеет вид

Формула Коши (3.5) и условие при позволяют первоначальную непрерывную динамическую систему заменить дискретной динамической системой, описываемой рекуррентным уравнением

где

Так как справедливо (3.3), то матрица а — неособенная.

Пусть векторы-столбцы матрицы компоненты вектора . Тогда

Пусть линейно зависимые столбцы матрицы Тогда

Положив видим, что путем исключения линейно зависимых столбцов матриц и соответствующего уменьшения размерности вектора и (конечно, с соответствующим изменением областей придем к задаче синтеза управления при линейно независимых векторах-столбцах матриц Аналогичный вывод получается, если равна нулю линейная комбинация не двух, а нескольких векторов-столбцов матрицы Итак, в дальнейшем считаем, что ранг матриц равен

2. Пусть в момент зафиксированы векторы Тогда вектор имеет условное нормальное распределение с параметрами (вектором условного м. о. и условной к. получаемыми интегрированием от до уравнений

при начальных условиях Эти уравнения следуют из (2.126), (2.127), если положить в Решение уравнений (3.13), (3.14) имеет вид

который можно использовать, если фундаментальная матрица имеет простое аналитическое выражение.

3. При оптимизации стохастического управления линейной системой методами стохастического

рования генерация случайных векторов производится по формуле

где матрица размерности определяемая алгоритмом извлечения квадратного корня из к. м.; у - вектор размерности составленный из центрированных независимых случайных компонент, дисперсия каждой из которых равна 1.

4. Иногда при планировании вычислительного процесса полезно заранее знать, что к. неособенная Докажем, что это можно гарантировать, если матрица непрерывна по и неособенная хотя бы в одной точке Из условия непрерывности следует, что существует интервал в котором Умножая (3.16) слева на а справа — на х, получим

где

Но по условию

Поэтому при любом векторе следовательно, неособенная.