§ 9.5. Параметры условного распределения в ненормальном приближении

Основой методики дискретного оценивания в ненормальном приближении служит приближенное обобщение на ненормальный случай основной леммы 4.1, изложенной в § 4.2. При определении характеристик априорного и условного распределений в ненормальном приближении используется при упомянутая выше «гипотеза урезания».

Задача ставится следующим образом: даны априорные м. о. и центральные моменты по 4-й порядок распределения вектора, составленного из компонент векторов и вектор зафиксирован; необходимо найти условные (апостериорные) вектор м. о. и центральные моменты по 4-й порядок вектора Из них наибольший интерес представляет вектор условного м. о., который служит вектором оптимальной оценки вектора по среднеквадратичному критерию в ненормальном приближении. Вначале считаем скаляр).

Заданы априорные характеристики совместного распределения и вектора

где компоненты векторов а индекс 0 соответствует величине Надо найти характеристики условного распределения вектора в виде функции фиксированной величины

где Определение этих функций

основывается на тождестве

и на представлении характеристик условного расиределения полиномами от величины с неизвестными коэффициентами. Степень этих полиномов уменьшается на 1 при увеличении на 1 порядка определяемого условного центрального момента. В правой части (9.32) присутствует условный момент а а не условный центральный момент так как априорно центрированные случайные величины после фиксации становятся нецентрированными. Далее полагаем

Тогда

вектор условного м. о. центрированного Примем

где неизвестные коэффициенты. Учтем, что , умножим (9.34) на и осредним, используя (9.32) при Для определения коэффициентов получим четыре линейных уравнения:

Величины получим из Решая (9.35), нацдем и из (9.33) получим

Положив найдем тем самым получим

приближенное решение задачи оптимальной оценки вектора в ненормальном приближении при одном измерении. Для организации последовательного процесса оценки при нескольких измерениях необходимо в функции найти остальные условные центральные моменты (до 4-го порядка) вектора

Тождество (9.32) используем при условиях Примем

Получим следующие линейные уравнения для определения

Уравнения для определения получим, заменяя в левых частях на и подставив в правые части (9.38) соответственно выражения

Так как для найдены выражения вида (9.34), то величины в правых частях (9.38) выразятся через априорные центральные моменты величины до порядка, выражаемые по формулам через априорные центральные моменты по 4-й порядок.

Используем теперь тождества (9.32) при условиях Примем

Коэффициенты определятся равенствами

(см. скан)

Величины в правых частях формул (9.40) определяются равенствами вида (9.28) после замены

Так как для найдены выражения вида (9.34), (9.37), то величины в правых частях (9.40) выразятся через априорные моменты величины по 10-й порядок, определяемые

Наконец, используем тождество (9.32) при При этом считаем, что условные центральные моменты 4-го порядка от не зависят. Тогда получим

Величины в правых частях равенств (9.41) определяются равенствами вида (9.29) после замены Так как для

найдены выражения вида (9.34), (9.37), (9.40), то величины в правых частях (9.41) выразятся через априорные моменты величины по 12-й порядок, определяемые

Как видно, методика приближенного определения условных векторов м. о. и центральных моментов по 4-й порядок проста, но довольно громоздка. Формулы резко упрощаются, если ограничиться центральными моментами по 3-й порядок и «гипотезу урезания» использовать при этом случае степени полиномов в (9.34), (9.37), (9.39) уменьшаются на 1. Пусть априорное распределёние нормально. Тогда при формулы (4.2), (4.3) основной леммы 4.1 следуют из формул изложенной методики. Действительно, из первых трех уравнений (9.35) при следует

Из первых двух уравнений (9.38) при следует и

Из (9.39) при и (9.40) убеждаемся, что

учитывая, что

Из (9.36) убеждаемся, что (9.42) и (9.43) являются скалярной записью векторно-матричных формул (4.2), (4.3) при и алгоритм НЛРФ перейдет в одну из форм алгоритмов ОРФ главы 4.

Пусть теперь вектор . В этом случае методика аналогична методике последовательного алгоритма, описанной в § 4.4: вначале фиксируем 1-ю компоненту вектора и но изложенной методике находим характеристики условного распределения остальных компонент вектора и вектора далее, это распределение счйтаем априорным и, фиксируя 2-ю компоненту вектора находим характеристики нового условного распределения и т. д.