§ 4.19. Формирующий фильтр

Пусть в дискретные моментывремени векторы ошибок измерений в (4.77) определяются соотношением где — непрерывный случайный векторный процесс, удовлетворяющий уравнениям

Здесь v - -мерный вспомогательный вектор, вектор белых шумов единичной интенсивности,

заданные матрицы соответствующей размерности. Эти матрицы далее считаем постоянными. Уравнения вида (4.192), (4.193) обычно называют «уравнениями формирующего фильтра». Например, если апалнз непрерывного случайного процесса ошибок измерений показал, что корреляционную функцию этого процесса с достаточной точностью можно представить выражением

то уравнение формирующего фильтра имеет вид

где

то уравнение формирующего фильтра имеет вид

где

Так как формирующий фильтр стационарен, то фундаментальную матрицу уравнений (4.192), (4.193): при можно разбить на блоки Тогда вместо (4.192), (4.193) уравнения дискретного формирующего фильтра запишем в виде

где случайные векторы порядка описывающие эффект действия на формирующий фильтр случайных возмущений на интервале Их корреляционные и взаимные корреляционные матрицы определяются явными формулами, если только матрицы найдены в аналитическом виде.

Формирующий фильтр всегда устойчив, а белый шум считается поданным на его вход достаточно давно. Тогда можно считать, что переходные процессы в фильтре закончились и случайного вектора, составленного из векторов от не зависит. Поэтому в

уравнении

надо положить В результате получим для R матричное уравнение

эквивалентное системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных элементов матрицы Матричное уравнение (4.201) имеет однозначное решение, если у матриц нет общих собственных значений. Но это будет всегда, если только матрица устойчива (не имеет нулевых собственных значений и двух собственных значений таких, что одно равно другому, взятому с обратным знаком).

Разобъем к. м. R на блоки:

умножим (4.198) на на После осреднения полученных соотншений найдем искомые формулы

где положено

Заметим, что знание к. м. R позволяет несложно найти блоки корреляционной матричной функции формирующего фильтра:

Наибольший интерес представляет матричная функция Эту функцию найдем, написав уравнение вида (4.198) при замене на на умножив его справа на и осреднив:

Рассмотрим примеры.

1. Уравнение формирующего фильтра имеет вид (4.195), и Из (4.201) и (4.203) получим

а из (4.206) следует (4.194).

2. Уравнение формирующего фильтра имеет вид (4.197), и

Из (4.201) и (4.203) — (4.205) найдем

Формулу (4.196) получим из (4.206).

Иногда случайные векторы представимы в виде

где заданные числа, а случайные векторы и независимы. Введем векторы уравнениями

Тогда

Уравнения (4.2062) являются дискретным формирующим фильтром для вспомогательного вектора составленного из векторов По измерениям (4.2063) алгоритм ОРФ должен оценивать векторы