§ 1.2. Модели объекта управления, возмущающих шумов, ошибок измерений

Разработка математической модели (уравнений движения) объекта управления, а также математических моделей случайных процессов возмущений и ошибок измерений «удобных» при исследованиях на ЦВМ и в то же время «похожих» на реальный объект управления и реальные случайные возмущения и ошибки измерений, — сложная экспериментальная и теоретическая задача, решение которой в каждой прикладной ситуации предшествует оптимизации управления.

Несмотря на упомянутые во введении правила или «За», построение моделей для ряде случаев осложняется тем, что их устойчивая статистика может не существовать из-за ее зависимости от неопределенных (нестатистических) факторов. Иногда указанная статистика более менее достоверно находится лишь при проведении специальных экспериментальных исследований серийно выпускаемых систем управления и датчиков информации, что делает ее определение затруднительным. В то же время обычно оптимизация управления должна быть проведена на стадии проектирования при отсутствии надежных экспериментальных данных . Поэтому указанные модели выбираются из прагматических соображений «удобства» работы на ЦВМ и интуитивных

соображений соответствия реальным случайным величинам и процессам в аналогичных системах, прошедших экспериментальную отработку и испытания. Как известно, в состав математического обеспечения современных ЦВМ входит стандартная программа генерации случайных, нормально распределенных, независимых чисел. Поэтому приемлемые для исследований на ЦВМ математические модели и являются некоторыми операторами (обычно их называют формирующими фильтрами), которые из этих чисел арифметическими действиями и операциями присвоения образуют случайные процессы возмущений и ошибок измерений.

Далее используется следующее определение марковское векторного случайного процесса: марковский векторный случайный процесс, если

где — условные плотности вероятностей вектора

Для обеспечения возможности использования мощных теоретических и численных методов анализа и синтеза стохастических систем будем требовать, чтобы при фиксированных векторах управлений (например, при была марковской случайная последовательность векторов фазовых координат объекта управления, описываемого уравнением (1.1). В терминах теории автоматического управления это означает, что в разомкнутой динамической системе (вектор управления не зависит от векторов обратной связи векторы образуют марковскую последовательность. В замкнутой динамической системе (управления — функции векторов обратной связи) марковости векторов обычно не существует. Исключением служит случай дискретного стохастического управления по полной информации.

Если случайные процессы возмущающие систему на непересекающихся интервалах времени статистически независимы, то последовательность марковская. Действительно, в этом случае, как следует из дифференциального уравнения (1.1), распределение вектора зависит только от (вектор полностью определен вектором начальных условий некоторым фиксированным вектором и случайным процессом при независимым с при

Примером случайного процесса обладающего указанным выше свойством, служит широко используемый в прикладных исследованиях дискретный белый шум. Последний строится следующим образом. Все интервалы времени делим на интервалы длиной на каждом из которых случайный вектор постоянеп, его компоненты нормально распределены и статистически независимы, имеют равные нулю математические ожидания и дисперсии, равные При переходит в некоторую математическую абстракцию, называемую белым шумом. Дискретный белый шум является допредельной моделью белого шума. Из допредельной модели следует, что если белый шум, то где компонента ; - дельта-функция. Так как преобразование Фурье от -функции равно то компоненты белого шума имеют единичную спектральную плотность. Далее всегда дискретный белый шум, постоянный на интервалах времени длиной обозначаем через а белый шум, получаемый при обозначим через

Если анализ и синтез стохастического управления производятся только с помощью прямых численных методов: анализ — методом Монте-Карло, синтез — методом стохастического программирования (см. главу 2), то модель объекта управления можно описывать широким классом уравнений вида

при условии выполнения требования: для достаточно малых величин статистические характеристики векторов (например, первые два момента) практически не должны зависеть от Но для исследований на ЦВМ математическая модель в виде (1.7) задана лишь, если задан метод численного интегрирования уравнения (1.7). Принципиально выполнение требования: на интервале длиной постоянства вектора численное интегрирование уравнения (1.7) производится каким-либо численным методом (например, методом Эйлера с шагом, существенно меньшим, чем величина или методом Рунге — Кутта с автоматически выбираемой в функции заданной точности длиной шага), в процессе применения которого учитывается переменность вектора удовлетворяющего (1.7) при постоянном векторе Поэтому даже при сколь угодно малой величине недопустимо, например, применение в

общем случае метода Эйлера с шагом, равным который вектор определит формулой

где равен случайному вектору постояппому при Использование этого метода со сколь угодно малым шагом применительно к уравнению вида (1.7) вызывает, вообще говоря, появление принципиальных ошибок в статистических характеристиках вектора х. Так, пусть в (1.7)

Тогда из (1.8)

Осредняя обе части (1.9), получим, что величины определяются рекуррентным уравнением

так как (случайные величины независимы, и Однако в действительности

Так как функция непрерывна, то второе слагаемое в правой части (1.10) при малой величине приближенно можно считать равным Однако третье слагаемое в (1.10) всегда не равно нулю, так как зависит от при Поэтому, если методом Монте-Карло определять интегрируя много раз уравнение методом Эйлера с шагом 6 и осредняя затем результаты интегрирований, то получим неверные значения те, правильные величины найдём, если числа будем определять, например, интегрированиями этого уравнения от до методом Рунге — Кутта при начальном условии с шагом, автоматически выбираемым из условия достижения заданной точности, или методом Эйлера с шагом, существенно мепыпим величины 6. Правда, как следует из материала § 2.12, для уравнения вида

метод Эйлера с малым шагом дает в принципе правильные результаты, если этим методом численно интегрировать не первоначальное уравнение (1.11), а вспомогательное уравнение

где вектор-функция определена в § 2.12.

Вышеизложенное проиллюстрируем на примере уравнения

Из материала § 2.12 следует, что при величина удовлетворяет уравнению

и, следовательно,

Определение величины методом Монте-Карло при числе опытов и численном интегрировании уравнения (1.12) внутри интервалов длиной 6 методом Рунге — Кутта показало при что в соответствии с формулой (1.13) равенство выполняется с ошибкой, не большей 5% при Если (1.12) интегрировать методом Эйлера с шагом то методом Монте-Карло получим, что и, следовательно, значительна ошибка определения

Итак, модель объекта управления включает уравнение вида (1.7) и метод его численного интегрирования. Из-за необходимости использования сложного метода численного интегрирования на каждом интервале длиной время расчета на ЦВМ каждой реализации процесса управления может быть немалым, что потребует больших затрат времени работы ЦВМ для анализа и синтеза управления методами Монте-Карло и стохастического программирования.

Запись модели объекта управления в виде уравнения (1.11) позволяет приближенный анализ системы управления проводить не методом Монте-Карло, а более экономно — путем численного, а иногда и аналитического интегрирования уравнений, которым приближенно удовлетворяют законы изменения статистических характеристик вектора правда, оценка степени приближения,

вообще говоря, неизвестна и может быть достоверно найдена лишь сравнением с результатами применения метода Монте-Карло. Вместо стохастического программирования синтез законов управления проводится более экономными методами нелинейного программирования.

Следует отметить, что так как в правую часть уравнения (1.7) входит быстро меняющийся вектор дисперсии компонент которого равны то при малой величине 6 велика дисперсия по крайней мере некоторых компонент вектора и траектория движения точки в фазовом пространстве содержит быстрые изломы. По этой же причине некоторые компоненты вектора в (1.11) при замене на имеют бесконечно большую дисперсию. Поэтому модели вида (1.7) или (1.11) дают довольно грубую идеализацию «природы», у которой фазовые траектории обычно достаточно гладки. Эта идеализация — плата за обеспечение марковского свойства у последовательности векторов

Рассмотренные выше случайные возмущения следует считать «быстрыми» возмущениями динамической системы. Кроме них, на систему часто действуют «медленные» случайные возмущения, имеющие физический смысл «уходов нулей» усилителей мощности исполнительных элементов контура управления, «уходов нулей» датчиков информации, угловых скоростей «дрейфа» гироплатформ инер-циалыюй навигации и т. д. Обычно компоненты векторов этих «медленных» возмущений считают полиномами от с неизвестными, но постоянными в данной реализации управления случайными коэффициентами. Дополняя этими коэффициентами вектор фазовых координат системы, получим «расширенную» динамическую систему, на которую действуют только «быстрые» случайные возмущения.

Для дискретного случайного процесса ошибок измерений широко используются модели двух видов.

Модель 1: в (1.2) — последовательность случайных независимых векторов.

Модель 2: где процесс, задаваемый формирующим фильтром вида

где — вектор белых шумов.

Образовав из компонент векторов вектор фазовых координат новой динамической системы, а из векторов вектор нового возмущающего белого шума, получим,

что модель 2 соответствует случаю, когда динамическая система описывается уравнением вида (1.1), в котором случайные возмущения являются белым шумом, а компонентами векторов обратной связи служат измеряемые без ошибок функции от компонент вектора фазовых координат;