§ 2.5. Некоторые свойства функций условных рисков

Для оптимизации стохастического управления необходимо на каждом шаге решать задачу

где

причем Конкретизируя свойства функций потерь можно получить некоторые свойства функций условных рисков полезные при численном решении рекуррентных уравнений. Сделаем следующие допущения:

1. Функции четные:

Примером таких функций могут служить

2. Области симметричны относительно начала координат: если то

3. Правая часть уравнения (1.1) динамической системы — нечетная функция

Примером может служить

где нечетные функции.

Докажем по индукции, что если справедливы допущения 1, 2, 3, то функция четная, а вектор-функция нечетная. Запишем решение уравнения (1.1) в момент при начальном условии в виде

где вектор, составленный из нормально распределенных компонент векторов входящих в конструкцию допредельного белого шума. Так как м. о. вектора равно нулю, то его плотность вероятности — четная функция: Так как

то из (2.38) и (2.40) следует

Учитывая (2.39), перепишем (2.36), (2.37) в виде

Сделаем в (2.42) замену

Учитывая (2.41) и четность функций получим

причем интегрирование по каждой компоненте вектора (как и интегрирование по каждой компоненте вектора проводится в пределах

Так как по условию область симметрична относительно начала координат, то минимизацию в правой части (2.44) можно проводить при условии и Допустим, что четная функция; тогда правая часть (2.44) с точностью до обозначений станет равна правой части (2.42) и, следовательно,

Учитывая второе из равенств (2.43), получим

Но функция о) четная по условию. Рассуждая по индукции, получим, что равенства (2.45), (2.46) справедливы при Эти равенства позволяют в два

раза уменьшить число точек в которых надо решать задачу (2.36).

Рассмотрим случай, в котором нетрудно доказать выпуклость вниз соответственно по и функций что обеспечит сходимость алгоритмов стохастического и нелинейного программирования. Допустим, что выпуклые вниз функции, а уравнение (1.1) линейно. Тогда вектор в (2.39) и равенство (2.37) можно представить соответственно в виде

где некоторые матрицы. Пусть выпуклая вниз функция. Тогда по свойствам 5 и 3 выпуклых функций первое слагаемое в правой части (2.47) — выпуклая функция Но сумма выпуклых функций — функция выпуклая. Поэтому выпуклая функция На основании свойства 4 выпуклых функций получим, что выпуклая вниз функция. Так как выпуклая, то, рассуждая по индукции, получим, что выпуклые вниз по

Из свойства 6 выпуклых функций следует, что минимальное значение и для любого вектора величина является неубывающей функцией а. Если то неограниченно возрастает с увеличением а и не медленнее, чем функция Поэтому при выполнении перечисленных выше условий поверхность в соответствующая функции похожа на поверхность некоторой воронки.