ГЛАВА 6. РЕКУРРЕНТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ ОШИБКАХ АПРИОРНЫХ ДАННЫХ И ВЫЧИСЛЕНИЙ

§ 6.1. Априорная и апостериорная точность оценки при ошибках статистических характеристик

Изложенные в главе 4 алгоритмы ОРФ в приложениях точно не реализуются из-за (а) отсутствия точной априорной информации о статистических характеристиках случайных возмущений и ошибок измерений и точною математического описания динамической системы; (б) ошибок вычислений на БЦВМ формульных зависимостей алгоритмов; (в) сознательного использования неточных (упрощенных) формульных зависимостей, сокращающих объем вычислений. Поэтому при решении прикладных задач фильтрации и управления всегда существует разница между истинными и вычисляемыми параметрами условных распределений; используемые алгоритмы лишь формально совпадают с алгоритмами ОРФ и не дают векторов оценок, оптимальных по среднеквадратичному критерию.

1. При исследовании точности оценки алгоритмами неоптимальной рекуррентной, фильтрации (алгоритмами НОРФ) следует учитывать, что параметры распределений априорных (в смысле определения, данного в § 4.8) и апостериорных векторов ошибок оценки не совпадают (в § 4.8 было показало, что при использовании алгоритмов ОРФ оба распределения совпадали), и поэтому далее будем различать априорную и апостериорную точность оценки.

Рассмотрим последовательность случайных векторов (4.33) и допустим, что матрицы в правых частях (4.34), (4.35) известны точно, а причины, перечисленные выше в пп. привели к замене в (4.41) матрицы на некоторую отличающуюся от нее матрицу Обозначим через соответствующие вычисляемые (неправильные) параметры

условного распределения, а через обозначим векторы, полученные, если в (4.36), (4.37) заменить на конечно, уже не будут априорными м. о. векторов перед фиксацией вектора Для получим выражения

Как следует из (4.41), (4.42), алгоритм НОРФ имеет

где матрицы определяются формулами вида (4.38), (4.39), (4.40) при замене к. на неверные к.

Кроме того, неправильные параметры априорного распределения векторов

Обозначим через вектор априорной (до фиксации векторов ошибки оценки вектора алгоритмом НОРФ:

Как уже отмечалось, распределение векторов априорной ошибки оценки полезно знать при проектных, исследованиях. Вычитая из (6.3) вектор и учитывая (4.34), (4.35), получим, что векторы образуют марковскую последовательность

где

и

Пусть вектор параметры априорного распределения вектора

Из (6.6) и (6.7) следует, что удовлетворяют

рекуррентным уравнениям

причем

Из (6.8) следует, что из-за наличия и ошибок знания априорных, м. о. векторов вектор и априорная оценка вектора алгоритмом НОРФ является смещенной. Кроме того, из (6.9) и (6.11) видно, что; априорная к. м. ошибок оценки не равна матрице определяемой алгоритмом НОРФ (6.4), и, конечно, отличается от к. определяемой алгоритмом ОРФ. Рассмотрим теперь апостериорную (после фиксации точность оценки алгоритмом НОРФ вектора оценив параметры апостериорного распределения вектора Из (6.5) найдем

Так как то в (6.13) — условная к. м. вектора описывающая апостериорное рассеивание вектора относительно вектора совпадает с к. определяемой алгоритмом ОРФ в (4.42). Из (6.8), (6.9) и (6.12), (6.13) видно, что неодинаковы параметры априорного и апостериорного распределений вектора ошибок оценки возникающего при использовании алгоритма НОРФ.

2. Характеристиками априорной точности оценивания алгоритмами НОРФ и ОРФ служат соответственно матрица вторых моментов получаемая из (6.8), (6.9), и к. получаемая из (4.12). Ухудшение точности оценивания, возникающее из-за ошибок априорных данных, определяет матрица

Однако непосредственный расчет матрицы часто

неудобен из-за ошибок вычислений при малых ошибках априорных, данных.

Покажем, что

где случайного вектора Найдем стохастическое уравнение для векторов считая, что в (4.36), (4.37) и (6.1), (6.2) одинаковы векторы, обозначенные через Прибавляя и вычитая из правой части (6.3) векторы получим

где положено Вычтем из (6.14) равенство (4.41), учитывая, что

Тогда получим стохастическое уравнение, описывающее механизм образования векторов

где

Уравнение (6.15) удобно для рассмотрения свойств векторов А, так как последовательность независимых случайных, векторов, изученная в § 4.8, параметры нормального распределения которых даны формулами (4.64), (4.65). Поэтому последовательность марковская. Векторы м. о. векторов совпадают с векторами удовлетворяющими (6.8) при начальном условии (6.10). векторов определится, как следует из (6.15) и (6.8), рекуррентным уравнением

при условии

Найденные из (6.8) и (6.16) компоненты вектора и элементы матриц характеризуют рассеивание векторов неоптимальпой оценки относительно векторов оптимальной оценки возникшее из-за ошибок

априорных данных. Учтем что

где

Умножим уравнение (4.57) справа на транспонированное уравнение (0.15) и осредним, учитывая (4.66) (индекс в (4.57) и (4.66) опускаем, так как рассматриваются априорные векторы Получим

Но непосредственной проверкой убеждаемся, что

Рассуждая по индукции, из получим, что и, следовательно, равенство (6.13i) доказано. Поэтому ухудшение точности оценивания полностью определяют решения рекуррентных, уравнений (6.8) и (6.16).

3. Рассмотрим точность оценки векторов фазовых координат алгоритмом НОРФ при измерениях модели 1. В этом случае алгоритм НОРФ использует формулы (4.91) -(4.95) алгоритма ОРФ, в которые вместо матриц подставляются матрицы обладающие всеми свойствами корреляционных и взаимных корреляционных матриц (причем , но отличающиеся от истинных; неправильные параметры условных, распределений определяются (4.94), (4.95), в которых заменены соответственно на

Вектор априорной ошибки оценки удовлетворяет стохастическому уравнению (4.135) при условии (4.136), если матрицы заменить на

априорная к. м. ошибок оценки удовлетворяет

(4.138), если заменить на В это же уравнение перейдет рекуррентное уравнение (6.9) для Из (6.8) видно, что тк — вектор м. о. вектора удовлетворяет уравнению

при условии

Вектор удовлетворяет при стохастическому уравнению (6.15), в котором вектор заменен на ЛА. Векторы и матрицы параметры распределения векторов определяются рекуррентными уравнениями (6.18) и (6.16), если в заменить на

В общем случае не удается получить аналитических, оценок каких-либо норм векторов и матриц в зависимости от возможных разностей Поэтому в конкретных исследованиях чувствительности надо после выбора априорных провести по уравнениям (6.18), (6.16) расчеты векторов и матриц при различных, назначаемых из эвристических соображений, отклонениях от априорных данные Заметим, что в частном случае описания этих отклонений в виде

где а — некоторое число (обычно ), получим

и, следовательно, Поэтому . В этом случае единственной причиной, вызывающей отличие от является вектор

4. Пусть теперь алгоритм НОРФ используется при измерениях модели 2. В этом случае

где эволюция параметров распределения случайных векторов порождаемых (6.15), определяется рекуррентными уравнениями (6.8), (6.16). Матрицы , входящие в содержатся в блочном представлении (4.174), а матрицы

определяются при использовании рекуррентного уравнения (4.42) соответственно с неправильными и правильными априорными статистическими данными.

По-прежнему через тк и обозначим м. о. и к. м. векторов и учтем, что параметры распределения случайных векторов в (6.19) определяются рекуррентными уравнениями (6.8), (6.16). Тогда из (6.19) получим

Формулы (6.20) и уравнения (6.8), (6.16) позволяют провести численный анализ точности оценок при измерениях модели 2 и алгоритме НОРФ.

5. Итак, информацию об ухудшении точности оценивания алгоритмом НОРФ по сравнению с алгоритмом ОРФ можно получить: (1) вычисляя и сравнивая между собой диагональные элементы матриц или: (2) вычисляя диагональные элементы матриц Так как матрицы непосредственно зависят от матриц то способ (2) представляется более наглядным и он используется ниже в §§ 6.3 — 6.6 для анализа влияния на точность НОРФ различных «усечений» модели системы.