§ 4.15. Предельное условное распределение

В предположении, что отсутствуют шумы, возмущающие динамическую систему, а матрицы неособенные (см. лемму 4.5), рассмотрим условия, при которых с увеличением интервала времени, на котором производятся измерения (при этом число измерений может быть мало, но не менее двух), или с увеличением числа измерений (при этом упомянутый интервал времени может быть постоянным) условная к. м. стремится к нулевой матрице. Это означает, что плотность вероятности условного распределения стремится к -мерной дельтафункции, а вектор условного м. о. стремится к вектору фазовых координат.

1. Пусть фундаментальная матрица такова, что для любой единичной вектор-функции выполнено условие:

При (стационарная система, описываемая уравнением (3.1) при условие (4.117) выполнится, если отрицательны действительные части собственных чисел (корней характеристического уравнения) матрицы в (3.1). В этом случае все элементы состоят из линейных комбинаций экспонент, неограниченно возрастающих при Условие (4.117) равносильно условию:

выполняемому у асимптотически устойчивых систем. Действительно, из тождества где

видно, что при если справедливо (4.118). При этом выбором единичная вектор-функция может быть сделана произвольной, так как матрица неособенная.

Покажем, что если выполнено (4.117), то с увеличением интервала времени, на котором производятся измерения, условная к. м. стремится к нулевой матрице. Выражение (4.114) умножим слева на а справа — на х, где произвольный единичный вектор. Получим

Так как второе и последующие слагаемые в правой части (4.114) — неотрицательно определенные матрицы, то второе и последующие слагаемые в правой части (4.116) — неотрицательные числа и, следовательно,

где

Симметричные положительно определенные матрицы можно представить в виде

где некоторые ортогональные матрицы; диагональные матрицы, элементы которых положительные числа причем собственные числа матриц Подставляя в (4.120) правые части (4.121), получим

где элементы векторов определяемых равенствами

Так как матрицы ортогональны, то

Пусть

Определим вектор х так, чтобы вектор был равен орту (у 1-й элемент равен 1, а остальные элементы равны 0). Из (4.123) видно, что

Тогда (4.122) примет вид

Пусть момент зафиксирован, Из-за условия и правая часть (4.125) неограниченно возрастает. Поэтому 0. Из-за для получим, что Но если все собственные числа симметричной матрицы стремятся к нулю, то стремятся к нулю и все ее элементы. Итак, если выполнено условие (4.117), то

Пусть теперь такова, что найдется некоторый (не любой!) единичный вектор при котором

В этом случае можно лишь утверждать, что левая часть неравенства (4.122) неограниченно возрастает при

Поэтому существует хотя бы одно собственное число матрицы которое стремится к нулю при и, следовательно, при выполнении (4.127) предельное условное распределение будет локализироваться в некоторой гиперплоскости

Матрица вида

— фундаментальная матрица уравнений служит примером случая, в котором условие (4.127) выполняется для произвольного постоянного вектора х с элементом а (4.117) не выполняется для любой

единичной вектор-функции Действительно, взяв с элементами

где получим, что (4.117) не выполняется, так как при Легко проверить, что утверждение (4.126) несправедливо, например, при двух измерениях в моменты как при так и при обоих случаях при условная дисперсия элемента не стремится к нулю, а условная дисперсия элемента к нулю стремится. Поэтому в рассматриваемом примере при стремится к нулю лишь одно собственное число условной к. м. Пример показывает, что условие (4.117) нельзя заменить менее жестким условием (4.127).

2. Для замены условия (4.117) менее жестким условием будем считать, что в разомкнутом состоянии (при динамическая система стационарна и существует число при котором

где

Заметим, что (4.128) является упомянутым выше условием Калмана детерминированной наблюдаемости, обеспечивающим определение без ошибок вектора если в моменты измеряются без ошибок векторы Положим, что кратно где а — некоторое целое число), Тогда соотношение (4.114) можно переписать в следующем виде:

где

Так как то матрица сумма неотрицательно определенных матриц. Но из-за условия (4.128) для любого вектора найдется матрица — такая, что Поэтому и, следовательно,

Пусть — минимальное собственное число матрицы (из-за и фундаментальная матрица такова, что

для любого и любого вектора у которого Так как

то из (4.129) получим При будет а

Рассуждая аналогично вышеизложенному, получим

где максимальное собственное число матрицы следовательно, Отсюда при

Итак, выполнение условия (4.128) и условия (4.132) (менее жёсткого, чем условие обеспечивает сходимость к нулю элементов условной к. м. при увеличении числа измерений Из приведенных выкладок следует, что эта сходимость по крайней мере менее быстрая, чем сходимость к пулю величины (в том смысле, что отношение ограничено). Если задан интервал наблюдений и увеличение числа наблюдений происходит из-за уменьшения интервала то в и (4.132) выполнится при любой фундаментальной матрице (из-за ее неособенности). С увеличением условная к. сходится к если для — минимального собственного числа матрицы выполняется неравенство

при любых 5. Здесь матрица, получаемая при замене в на

Приведем пример, показывающий, что нельзя ослабить условие (4.128). Пусть в Тогда условие (4.128) не выполнено, так как при любом имеем Заменяя множество фиксированных векторов одним вектором — средним арифметическим векторов получим, что с увеличением числа измерений уменьшаются ошибки измерений компонент вектора Поэтому при достаточно большом числе измерений можно считать, что вектор измерен без ошибок. Из (4.95) получим, что предельная условная к. м. С не равна и определяется формулой