§ 4.15. Предельное условное распределение
В предположении, что отсутствуют шумы, возмущающие динамическую систему, а матрицы
неособенные (см. лемму 4.5), рассмотрим условия, при которых с увеличением интервала времени, на котором производятся измерения (при этом число измерений может быть мало, но не менее двух), или с увеличением числа измерений (при этом упомянутый интервал времени может быть постоянным) условная к. м. стремится к нулевой матрице. Это означает, что плотность вероятности условного распределения стремится к
-мерной дельтафункции, а вектор условного м. о. стремится к вектору фазовых координат.
1. Пусть фундаментальная матрица
такова, что для любой единичной вектор-функции
выполнено условие:
При
(стационарная система, описываемая уравнением (3.1) при
условие (4.117) выполнится, если отрицательны действительные части собственных чисел (корней характеристического уравнения) матрицы
в (3.1). В этом случае все элементы
состоят из линейных комбинаций экспонент, неограниченно возрастающих при Условие (4.117) равносильно условию:
выполняемому у асимптотически устойчивых систем. Действительно, из тождества
где
видно, что
при
если справедливо (4.118). При этом выбором
единичная вектор-функция
может быть сделана произвольной, так как матрица
неособенная.
Покажем, что если выполнено (4.117), то с увеличением интервала времени, на котором производятся измерения, условная к. м. стремится к нулевой матрице. Выражение (4.114) умножим слева на
а справа — на х, где
произвольный единичный вектор. Получим
Так как второе и последующие слагаемые в правой части (4.114) — неотрицательно определенные матрицы, то второе и последующие слагаемые в правой части (4.116) — неотрицательные числа и, следовательно,
где
Симметричные положительно определенные матрицы
можно представить в виде
где
некоторые ортогональные матрицы;
диагональные матрицы, элементы которых положительные числа
причем
собственные числа матриц
Подставляя в (4.120) правые части (4.121), получим
где
элементы векторов
определяемых равенствами
Так как матрицы
ортогональны, то
Пусть
Определим вектор х так, чтобы вектор
был равен
орту (у 1-й элемент равен 1, а остальные элементы равны 0). Из (4.123) видно, что
Тогда (4.122) примет вид
Пусть момент
зафиксирован,
Из-за условия
и правая часть (4.125) неограниченно возрастает. Поэтому 0. Из-за
для
получим, что
Но если все собственные числа симметричной матрицы
стремятся к нулю, то стремятся к нулю и все ее элементы. Итак, если выполнено условие (4.117), то
Пусть теперь
такова, что найдется некоторый (не любой!) единичный вектор
при котором
В этом случае можно лишь утверждать, что левая часть неравенства (4.122) неограниченно возрастает при
Поэтому существует хотя бы одно собственное число матрицы
которое стремится к нулю при
и, следовательно, при выполнении (4.127) предельное условное распределение будет локализироваться в некоторой гиперплоскости
Матрица
вида
— фундаментальная матрица уравнений
служит примером случая, в котором условие (4.127) выполняется для произвольного постоянного вектора х с элементом
а (4.117) не выполняется для любой
единичной вектор-функции
Действительно, взяв
с элементами
где
получим, что (4.117) не выполняется, так как при
Легко проверить, что утверждение (4.126) несправедливо, например, при двух измерениях в моменты
как при
так и при
обоих случаях при
условная дисперсия элемента
не стремится к нулю, а условная дисперсия элемента
к нулю стремится. Поэтому в рассматриваемом примере при
стремится к нулю лишь одно собственное число условной к. м. Пример показывает, что условие (4.117) нельзя заменить менее жестким условием (4.127).
2. Для замены условия (4.117) менее жестким условием будем считать, что в разомкнутом состоянии (при
динамическая система стационарна
и существует число
при котором
где
Заметим, что (4.128) является упомянутым выше условием Калмана детерминированной наблюдаемости, обеспечивающим определение без ошибок вектора
если в моменты
измеряются без ошибок векторы
Положим, что
кратно
где а — некоторое целое число),
Тогда соотношение (4.114) можно переписать в следующем виде:
где
Так как
то матрица
сумма неотрицательно определенных матриц. Но из-за условия (4.128) для любого вектора
найдется матрица
— такая, что
Поэтому
и, следовательно,
Пусть
— минимальное собственное число матрицы
(из-за
и фундаментальная матрица
такова, что
для любого
и любого вектора
у которого
Так как
то из (4.129) получим
При
будет а
Рассуждая аналогично вышеизложенному, получим
где
максимальное собственное число матрицы
следовательно,
Отсюда
при
Итак, выполнение условия (4.128) и условия (4.132) (менее жёсткого, чем условие
обеспечивает сходимость к нулю элементов условной к. м. при увеличении числа измерений
Из приведенных выкладок следует, что эта сходимость по крайней мере
менее быстрая, чем сходимость к пулю величины
(в том смысле, что отношение
ограничено). Если задан интервал наблюдений
и увеличение числа наблюдений
происходит из-за уменьшения интервала
то в
и (4.132) выполнится при любой фундаментальной матрице (из-за ее неособенности). С увеличением
условная к.
сходится к
если для
— минимального собственного числа матрицы
выполняется неравенство