§ 3.14. Оптимизация терминального управления при ограничении числа участков управления

1. Примем, что допустимое число участков управления меньше числа интервалов ограничения на располагаемые энергозатраты не учитываются, но векторы управлений ограничены и

постоянны между моментами Подобная ситуация возникает при рассмотрении модельных задач коррекции космического полета, в которых число коррекций ограничено, так как каждой коррекции предшествует сложная операция ориентации и стабилизации.

В момент фазовыми координатами динамической системы являются вектор упрежденных фазовых координат размерности допустимое число участков управления на отрезке Уравнения движения системы имеют вид

где

Из следует, что векторы оптимальных терминальных управлений определятся рекуррентными уравнениями, которые описывают эволюцию минимальных условных средних рисков, зависящих от фазовых координат

где

где

где

Если в функции к, то число разрешенных участков управления равно общему числу интервалов содержащихся в отрезке Тогда получаем ранее рассмотренную задачу оптимизации терминального управления при отсутствии дополнительного ограничения на число участков управления и можно положить

Основная особенность задачи оптимизации при к состоит в существовании области «нечувствительности» — окружающей точку области, при попадании в которую вектора надо на интервале положить отложить до момента принятие решения об управлении. Изложим эвристические соображения, обосновывающие существование области «нечувствительности

Ясно, что при так как величина [со тем меньше, чем больше участков управления допускается на отрезке Отсюда при заменяя на и осредняя по у, получим

Строгое неравенство (3.114) справедливо для всех в том числе и для а правая и левая части (3.114) — непрерывные функции Поэтому в существует некоторый шар с центром в точке такой, что если

Положим

и пусть при операции минимизации в (3.116) найдена непрерывная по вектор-функция причем При достаточно малом Поэтому, положив в получим, что

по крайней мере, если Но из (3.113) следует, что в этом случае При достаточно большом естественно допустить, что

при большом целесообразно, несмотря на случайные

возмущения на интервале этот интервал на управление, положив Поэтому (3.118) и (3.119) высекают в область окружающую точку область «нечувствительности» оптимального терминального управления, в которой

Итак, вектор оптимального управления и функция определяются соотношениями

Функцию можно записать еще и так:

Размеры области «нечувствительности» тем больше, чем больше элементы матрицы (при больших случайных возмущениях системы на интервале нерационально «тратить» участок управления на управление по вектору фазовых координат замеренному в момент

Заметим, что, последовательно используя (3.113), получим

где векторы размерности составленные из независимых центрированных случайных величии с дисперсией 1.

2. Методику численной оптимизации рассмотрим в случае одномерного управления при ограничении положив вначале и считая, что терминальная функция четная и не убывает с ростом Кроме того, положим, что монотонно убывающая функция к:

Условие (3.124) означает, что чем раньше используется участок управления, тем сильнее управлением может быть изменена упрежденная фазовая координата динамической системы.

В рассматриваемом случае шар является некоторым отрезком, середина которого лежит в точке а в (3.115)

надо положить, как следует из (3.113),

где

и

По лемме 3.3 правая часть (3.125) — неубывающая функция Поэтому функция минимизирующая (3.125), определяется формулами (3.110), (3.111). При достаточно малой величине величина сколь угодно мала. Поэтому существует величина такая, что если то выполняется

где при при Соотношения (3.120), (3.121) примут вид

При выполнении (3.128)

Заметим, что величина может быть сколь угодно велика и, следовательно, величины удовлетворяющие (3.129), могут, вообще говоря, отсутствовать. Так, если где — малая величина, а число велико по сравнению с (малы возмущения системы на отрезке по сравнению с возмущениями на интервале то при любой величине решение об управлении целесообразно принимать после момента В этом случае при всех выполнено (3.126) и

Пусть теперь величина заметно превышает — величины одного порядка.

да при большой величине должно выполниться (3.129): выгоднее возможно значительнее уменьшить величину управлением чем отложить решение до момента Итак, при малых выполнится (3.126), а при больших (3.129), что обосновывает существование корня уравнения

Величины в функции к определяют границу области «нечувствительности» оптимального терминального управления при Докажем по индукции, что четная и неубывающая функция Пусть этим свойством обладает функция Из (3.127) в соответствии с леммой 3.3 получим, что при четная и неубывающая функция Аналогичный вывод, учитывая леммы 3.3 и 3.4, получим при из (3.128), так как соответственно нечетная и четная неубывающие функции Учитывая (3.130), получим, что четная и неубывающая функция Но по леммам

— четная и неубывающая функция Индукция закончена.

Рис. 3.3.

Заметим, что — вообще говоря, невыпуклая функция что иллюстрируется рис. 3.3.

Вычислительный процесс определения чисел начинается с расчета численным

интегрированием величин в точках лежащих внутри половины отрезка 96 и засылки их в память ЦВМ. Далее, например, методом «секущих» находится корень уравнения

После этого в точках лежащих внутри половины отрезка в соответствии с (3.127), (3.128) вычисляются величины и засылаются в память ЦВМ. Дальнейший процесс вычисления производится аналогично.

3. Вычисления упрощаются при квадратичной функции терминальных потерь: В этом случае [со При получим, что

Так как то из (3.131) и (3.132) при получим неравенство (3.120), найденное ранее из эвристических соображений. Используя асимптотику

можно показать, что при большой величине

Но по условию Из (3.124) следует, что если велика то при выполнится неравенство (3.129), справедливость которого при некоторых была ранее предположена. Поэтому по крайней мере при существует корень уравнения (3.130),

4. Рассмотрим алгоритм вычислений величин если при при В этом случае оптимальный участок управления должен сделать минимальной вероятность непопадания точки в отрезок Однако для некоторого сокращения используемых формул целесообразно решать задачу максимизации вероятности попадания точки в отрезок Тогда максимальная вероятность попадания точки в этот отрезок, если произвести оптимальное управление на некотором оптимальном интервале при Из следует, что при произвольном управлении если где Это обстоятельство облегчает вычисления, так как определять и заносить в память ЦВМ величины надо лишь при

Определим функции

где

где Величины при любых к и рассчитываются использованием стандартной программы ЦВМ, При определенной выше функции потерь

и, следовательно, при Тогда из (3.134) получим

и численно находим корень уравнения причем если если В процессе определения величины находим численным интегрированием. Так как решается задача максимизации среднего риска, то при при

Далее, для точек входящих в отрезок численным интегрированием рассчитываются величины и заносятся в память ЦВМ. Учтем, что 1) при Поэтому из (3.135) при получим

и численно найдем корень уравнения при при Для точек входящих в отрезок численным интегрированием рассчитываются величины и заносятся в память ЦВМ. Дальнейший процесс определения границ области «нечувствительности» производится аналогично.

В таблице 3.1 для , представлены результаты расчетов по описанной методике величин в условиях, когда соответственно при . При расчет был проведен также и при Из таблицы 3.1 видно, что величины практически линейно увеличиваются с уменьшением к. При величины значительно больше, чем при увеличение эффективности управления (увеличение величин раздвигает границы области «нечувствительности», позволяя при больших величинах откладывать управление на будущее. Расчет показал, что плавные функции Это позволило при вычислении величин использовать вместо (3.134), (3.135) квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности.

5. Выше подробно рассмотрен алгоритм численного определения границ области

«нечувствительности» управления при одном участке управления Описанный алгоритм без изменений используется и в общем случае определения вектора оптимального управления границ области «нечувствительности», когда задано произвольное число участков управления. Пусть на предшествующих шагах оптимизации найдены и занесены в память ЦВМ в точках функции соответствующие числа и доказано, что четная и неубывающая функция

Таблица 3.1 (см. скан)

При этом, конечно, так как в противном случае располагаемое число участков управления в момент не меньше числа интервалов выполнено и отсутствует область «нечувствительности». Вычисления начинаются с определения и занесения в память ЦВМ функции определяемой равенством

Так как по условию — четная и неубывающая функция то ее минимум равен и достигается при определяемой (3.110), (3.111). Величина находится в результате численного решения уравнения

и тогда

Функция «склеивается» из двух четных и неубывающих функций и поэтому обладает этим же свойством. Значения ее рассчитываются и заносятся в память ЦВМ в точках Дальнейший процесс определения границ области «нечувствительности» производится аналогично. На предшествующих шагах вычислений определяется и заносится в память ЦВМ четная и неубывающая функция ранее была определена и занесена в память ЦВМ функция обладающая тем же свойством. Из леммы 3.3 следует, что минимум функции равен и достигается при определяемой (3.110), (3.111). Величина находится в результате численного решения уравнения

При

при

четная, неубывающая функция Ее значения рассчитываются в точках и заносятся в память ЦВМ.

Из физических соображений ясно, что при данном к величины с ростом уменьшаются и делаются равными нулю при Поэтому чем больше тем меньше область «нечувствительности» управления.

При непрерывном времени вопросы оптимального стохастического управления рассматривались в [40], [16], [18], [55] и сводятся к исследованию некоторых краевых задач для уравнений в частных производных параболического типа.