Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА НА АБСОЛЮТНО ГЛАДКОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ§ 1. Уравнения движенияПусть твердое тело движется по горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Поверхность, ограничивающая твердое тело, предполагается выпуклой, так что имеется только одна точка соприкосновения твердого тела и плоскости и в этой точке поверхность, ограничивающая твердое тело, имеет вполне определенную единственную касательную плоскость. Тем самым исключаются тела, поверхности которых имеют заострепия, ребра и т. п. Задача о движении твердого тела по плоскости состоит в том, чтобы по заданпому начальному кинематическому состоянию тела найти в зависимости от времеии его положение в пространстве и реакцию плоскости. Для полного уяснения геометрической тсартииы движения целесообразно также найти след точки касания на плоскости и на поверхности тела. 1. Получение уравнений движения из теорем об измеиении количества движения и кинетического момента. Движение тела будем рассматривать по отношению к неподвижной системе координат
Рис. 6 С твердым телом жестко свяжем систему координат с началом в его центре тяжестп Уравнение поверхности тела в системе координат запишем в виде
выбирая знак функции
где
Пусть плоскость, по которой движется тело, является абсолютно гладкой. Тогда ее реакция
Следуя [94, 156], введем десять неизестных функций времени Для определения перечисленных неизвестных фупкцнй составим следующие десять уравнений: 1) три уравнения (5.2) гл. 1, выражающих теорему об изменении количества движения; с учетом того, что внешними силами являются реакция плоскости (1.5) и сила тяжести, эти уравнения запишутся в виде
где 2) три уравнения (5.6) гл. 1, выражающих теорему об изменении кинетического момента:
(здесь 3) два уравнения, к которым в силу очевидного тождества
доказывающих, что вектор 4) уравнение (1.1) поверхности тела; 5) уравнение связи
Условие (1.9) означает, что твердое тело движется, все время соприкасаясь с плоскостью. Перечисленные уравпепия с учетом соотношений (1.4) и кинематических уравнений Эйлера (см. формулы (1.9) гл. 1) представляют собой полную систему уравнений движения тяжелого твердого тела по неподвижной горизонтальной абсолютно гладкой плоскости. Рассмотрим эти уравнения подробнее. Согласно первым двум уравнениям из (1.6) центр тяжести тела движется так, что его проекция на опорную горизонтальную плоскость движется равномерно и прямолинейно:
где индексом 0 обозначены начальные значения соответствующих величин. Третье уравнение из (1-6) с учетом равенства (1.9) позволяет найти выражение для нормальной реакции плоскости. В самом деле, обозначая точкой над вектором его производную в системе координат
Так как вектор
Дифференцируя обе части этого равенства по времени
Отсюда и из (1.6) имеем
Уравнения (1.7), (1.8) с учетом (1.1), (1.4) и (1.13) образуют замкнутую систему уравнений относительно величин
При известных вектор-функциях
Если указанным выше путем величины Из теоремы об измепении кинетической энергии следует, что имеет место интеграл энергии
где
Так как внешние силы, действующие на тело, направлены вертикально, то их момент относительно любой вертикальной оси, в частности относительно вертикали, проходящей через центр тяжести тела, равен нулю. Поэтому из теоремы об изменении кинетического момента следует еще один интеграл:
выражающей постоянство проекции на вертикаль кинетического момента тела относительно центра тяжести.
|
1 |
Оглавление
|