ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА НА АБСОЛЮТНО ГЛАДКОЙ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

§ 1. Уравнения движения

Пусть твердое тело движется по горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Поверхность, ограничивающая твердое тело, предполагается выпуклой, так что имеется только одна точка соприкосновения твердого тела и плоскости и в этой точке поверхность, ограничивающая твердое тело, имеет вполне определенную единственную касательную плоскость. Тем самым исключаются тела, поверхности которых имеют заострепия, ребра и т. п.

Задача о движении твердого тела по плоскости состоит в том, чтобы по заданпому начальному кинематическому состоянию тела найти в зависимости от времеии его положение в пространстве и реакцию плоскости. Для полного уяснения геометрической тсартииы движения целесообразно также найти след точки касания на плоскости и на поверхности тела.

1. Получение уравнений движения из теорем об измеиении количества движения и кинетического момента.

Движение тела будем рассматривать по отношению к неподвижной системе координат с началом О в некоторой точке горизонтальной плоскости по которой движется тело. Ось направим вертикально вверх, единичный вектор этой оси обозначим через Если М — точка касания тела с плоскостью, то — единичный вектор внутренней пормали к поверхности тела, построенной в точке М (рис. 6).

Рис. 6

С твердым телом жестко свяжем систему координат с началом в его центре тяжестп и осями, направленными вдоль главных центральных осей инерции тела. На рис. 6 показана также система координат которой во все время движения параллельны соответствующим осям неподвижной системы кооординат а начало совпадает с центром тяжестп тела. Ориентация тела относительно неподвижной системы координат задается углами Эйлера или при помощи матрицы направляющих косинусов а (см. равенства (1.3) гл. 1).

Уравнение поверхности тела в системе координат запишем в виде

выбирая знак функции так, чтобы пмело место равенство

где — еданичиые векторы осей и соответственно. Отсюда и из равенств (1.3) гл. 1 получаем

Пусть плоскость, по которой движется тело, является абсолютно гладкой. Тогда ее реакция направлена вертикально вверх,

Следуя [94, 156], введем десять неизестных функций времени три координаты х, у, z центра тяжести тела в неподвижной системе координат три утла Эйлера, три компоненты радиуса-вектора точки касания М тела и плоскости относительно центра тяжести и величину нормальной реакции плоскости.

Для определения перечисленных неизвестных фупкцнй составим следующие десять уравнений:

1) три уравнения (5.2) гл. 1, выражающих теорему об изменении количества движения; с учетом того, что внешними силами являются реакция плоскости (1.5) и сила тяжести, эти уравнения запишутся в виде

где — масса тела, — ускорение свободного падения;

2) три уравнения (5.6) гл. 1, выражающих теорему об изменении кинетического момента:

(здесь — проекции вектора со угловой скорости тела на оси , а А, В, С — моменты инерции тела относительно этих осей);

3) два уравнения, к которым в силу очевидного тождества сводятся три уравнения Пуассона

доказывающих, что вектор определяет неизменное направление в неподвижной системе координат

4) уравнение (1.1) поверхности тела;

5) уравнение связи

Условие (1.9) означает, что твердое тело движется, все время соприкасаясь с плоскостью.

Перечисленные уравпепия с учетом соотношений (1.4) и кинематических уравнений Эйлера (см. формулы (1.9) гл. 1) представляют собой полную систему уравнений движения тяжелого твердого тела по неподвижной горизонтальной абсолютно гладкой плоскости. Рассмотрим эти уравнения подробнее.

Согласно первым двум уравнениям из (1.6) центр тяжести тела движется так, что его проекция на опорную горизонтальную плоскость движется равномерно и прямолинейно:

где индексом 0 обозначены начальные значения соответствующих величин.

Третье уравнение из (1-6) с учетом равенства (1.9) позволяет найти выражение для нормальной реакции плоскости. В самом деле, обозначая точкой над вектором его производную в системе координат для абсолютной производиой получаем выражение (см. равенство (1.10) гл. 1)

Так как вектор постоянен в абсолютном пространстве, а вектор очевидно, ортогонален то из (1.9) и (1.11) следует, что проекция скорости центра тяжести тела на вертикаль определяется равенством

Дифференцируя обе части этого равенства по времени учитывая (1.11), получаем выражение для проекцип ускорения центра тяжести тела на вертикаль:

Отсюда и из (1.6) имеем

Уравнения (1.7), (1.8) с учетом (1.1), (1.4) и (1.13) образуют замкнутую систему уравнений относительно величин Если эти величины найдены как функции времени, то известны след точки касания М тела и плоскости на поверхности тела и вектор угловой скорости углы Эйлера могут быть получены из (1.4), а угол найдется затем путем интегрирования одного из кинематических уравнений Эйлера:

При известных вектор-функциях реакция плоскости вычисляется по формулам (1.5), (1.13), а координата центра тяжести найдется из (1.9). Координаты ум точки касания на плоскости могут быть определены при помощи рис. 6 из простых геометрических соображений: если и Ям радиусы-векторы центра тяжести и точки М относительно начала системы координат то , где А — матрица направляющих косинусов отсюда следует, что

Если указанным выше путем величины и утлы Эйлера найдены как функции времени, то формулы (1.15) задают в параметрической форме уравнение кривой — следа, описываемого точкой касания М на опорной горизонтальной плоскости.

Из теоремы об измепении кинетической энергии следует, что имеет место интеграл энергии

где

Так как внешние силы, действующие на тело, направлены вертикально, то их момент относительно любой вертикальной оси, в частности относительно вертикали, проходящей через центр тяжести тела, равен нулю. Поэтому из теоремы об изменении кинетического момента следует еще один интеграл:

выражающей постоянство проекции на вертикаль кинетического момента тела относительно центра тяжести.