§ 2. Стационарные движения тела вращения

1. Вводные замечания.

При движении твердого тела по шероховатой плоскости при наличии скольжения происходит диссипация его энергии. Если — вектор скорости точки касапия, реакция плоскости, то для производной по времени от полной энергии тела имеем выражение

Горизонтальная составляющая реакции плоскости (сила трепня) направлена противоположно скорости скольжения, поэтому правая часть в равенстве (2.1) неположительна. Движение происходит так, что тело стремится избежать трения скольжения [2]; скорость рассеяния энергии, т. е. абсолютная величина правой части равенства (2.1), с течением времени убывает.

В случае сухого трения равенство (2.1) имеет вид

где — коэффициент трения скольжения, нормальная реакция плоскости. При движении в отсутствие отрыва твердого тела от плоскости проекция ускорения его центра тяжести на вертикаль не превосходит некоторой величины где — ускорение свободного падения, положительный коэффициент, меньший единицы. Если — масса тела, то из теоремы о движении центра инерции следует тогда, что т. е. нормальная реакция плоскости ограничена снизу положительной постоянной. А так как правая часть в равенстве (2.2) с возрастанием времени стремится к пулю, то это означает, что скорость скольжения и с ростом времепи уменьшается [2] В некоторых частных случаях показано [2, 152, 155], что при иаличии сухого трения скорость скольжения может исчезнуть за конечное время. Но так ли это в общем случае — неизвестно.

Как и в случаях абсолютно шероховатой и абсолютно гладкой плоскостей, в случае горизонтальной плоскости при наличии трения скольжения известны [73, 74, 68, 86, 99, 124, 134, 159, 162, 273] следующие три типа стационарных движений тела вращения в однородном поле тяжести: 1) вращение вокруг вертикально направленной оси симметрии; 2) регулярные прецессии; 3) качение тела одним из своих сечений так, что ось симметрии перемещается равномерпо и прямолинейно, а центр тяжести находится над точкой касания. В этих стационарных движениях скорость точки касания равна нулю. Как уже отмечалось в § 2 гл. 2, движения третьего типа возможны не для всех тел вращения.

Устойчивость стационарного движения первого типа в случае плоскости с сухим трением исследована в статье [124]. В этой статье получено достаточное условие устойчивости, которое имеет вид неравенства (3.46) гл. 3. Для получения этого условия в [124] использовалась функция Ляпунова, построенная при. помощи интегралов неголономной задачи. Как заметил Н. К. Мощук в диссертации [134], из неустойчивости движения в неголономной задаче следует неустойчивость этого движения на плоскости с сухим трением, так как в случае плоскости с сухим трением устойчивость стационарного движения означает устойчивость как по отношению к произвольным возмущениям, так и по отношению к возмущениям, оставляющим скорость скольжения нулевой. Но, как показано в гл. 3, условие (3.46) этой главы является необходимым (с точностью до знака равенства) достаточным для устойчивости стациопарного движения первого типа в неголономной задаче. На основании замечания Н. К. Мощука отсюда следует [134], что полученное в [124] условие является не только достаточным, но и необходимым (с точностью до знака равенства) условием устойчивости стационарного движения первого типа на плоскости с сухим трением. В диссертации [134] отмечено также, что условия устойчивости второго и третьего типов стационарных движений тела вращения на плоскости с сухим трением такие же, как и в неголономной задаче.

В данном параграфе будет подробно рассмотрен вопрос о существовании и устойчивости стационарных движений тела вращения только для случая плоскости с вязким трением. Как показали П. Коптенсу [86] и Т. Эрисман [234], при движении тела, сопровождающемся его верчением и скольжением на плоскости с сухим трением, фактическая сила трения оказывается пропорциональной скорости сколъжепия, т. е. имеет место вязкое трение.