2. Учет трения качения и верчения.

Гассмотрпм движение шара в общем случае его взаимодействия с опорной плоскостью, когда действие плоскости на шар приводит к силе приложенной в точке касания, паре сил с моментом трения качения и паре сил с моментом трения верчения Как и в положим, что где нормальная реакция плоскости, сила сухого трения скольжепия. Момент трения качения направлен противоположно горизонтальной составляющей а момент трения верчения — противоположно вертикальной составляющей вектора угловой скорости шара:

Здесь — коэффициенты трения качения и верчения соответственно.

Векторные уравнения движения будут иметь вид (1.4), (1.5). только в правую часть уравнения (1.5) надо добавить величины Приравняв вертикальные составляющие в левой и правой частях этих уравнений, получим, что удовлетворяет уравнению

Пусть, например, Тогда

Через промежуток времени, равный

вертикальная составляющая вектора угловой скорости становится равной нулю; горизонтальная составляющая вектора угловой скорости шара вследствие трения верчения не изменяется.

Пусть — углы, которые образуют горизонтальная составляющая вектора угловой скорости и вектор скорости центра шара с осью соответственно. Тогда

и из векторных уравнений движения с учетом равенства (1.1) вытекают следующие четыре скалярные уравнении, определяющие величины как функции времени:

Если функции найдены, то из (1.19) определятся величины а затем из (1.1) найдутся величины как функции траектория центра шара затем определится при помощи квадратур.

Уравнения движения (1.20), (1.21) справедливы, если есть одновременно и скольжение и качение шара Если хотя бы одна из величин и или равна нулю, то уравнения (1.20), (1.21) должны быть изменены в соответствии с законами трения скольжения и качения [2].

Если то мы приходим к рассмотренному в случаю движения шара под действием сухого трения скольжения. В реальных ситуациях величина 6 отлична от нуля, но является малой; будем считать, что выполняется неравенство

Покажем, что скольжение шара без качения невозможно. Действительно, пусть в некоторый момент времени, который всегда можно рассматривать как начальный момент величина равна нулю и остается таковой при Тогда момент трения качения, подчиняясь законам трения качения при покое [2], будет горизонтальным вектором, образующим с осью неизвестный заранее угол и имеющим модуль, равный где При уравнения движения будут пметь вид уравнений (1.20), (1.21), в которых Уравнения (1.21) в этом случае дают Но так как то последнее равенство в силу (1.22) невозможно. Таким образом, пока есть скольжепие, происходит качение.

Если же в начальный момент времени скорость скольжения равна нулю, то она остается нулевой и при . В самом деле, если скольжение отсутствует, то, согласно законам сухого трения, сила трения имеет неизвестное заранее горизонтальное направление, образующее с осью некоторый угол а, а модуль силы трения равен где Уравнения движения шара будут иметь вид уравнений (1.20), (1.21), в которых надо положить Из уравнений (1.20) тогда получаем, а

В силу (1.22) это значение меньше Таким образом, при имеем движение, в котором а величина сохраняет свою постоянную величину (1.23), меньшую Из уравнений (1.21) следует тогда, что

Поэтому уменьшается пропорциопально времени, а угол остается постоянным:

Выбором направления оси неподвижной системы координат можно добиться, чтобы угол равнялся тогда и из (1.2), (1.19) следует, что

Следовательно, центр шара движется прямолинейпо и равнозамедленно; ускорение центра шара

Вектор скорости центра шара ортогонален вектору а скольжение отсутствует. В момент времени, равный

величина обращается в пуль и центр шара останавливается.

Рассмотрим теперь общий случай движения, когда Уравнения (1.21), (1.22) остаются справедливыми до того момента, когда одна из двух величин и или не станет равной нулю. Если обращается в нуль раньше, чем и, то согласно сказанному выше сразу же перестает быть нулевой. Если, наоборот, в нуль обращается величина и, то она и в дальнейшем остается равной нулю.

Из уравнений движения следует, что скорость скольжения и все время уменьшается и в конце концов в некоторый момент

времени обращается в нуль. В самом деле, так как то первое из уравнений (1.20) дает неравенство

из которого с учетом принятого условия (1.22) следует, что

Следовательно,

и скорость скольжения обращается в нуль по прошествии времени, меньшего Начиная с этого момента, происходит описанное выше движение шара без скольжения.

Уравнения движения допускают первый интеграл, который получается путем исключения величины первого и третьего уравнений системы (120), (1.21). Имеем

В силу (1.22) правая часть этого равенства отрицательна. В течение рассматриваемого промежутка времени, когда величина уменьшается пропорционально времени:

Рассмотрим теперь вопрос об интегрировании системы уравнений движения шара (1.20), (1.21). Введем для краткости обозначения

Тогда уравнения (1.20), (1.21) запишутся в впде

Из этих уравнений следует, что

Из первого и третьего уравнений системы (1.28) получаем два дифференциальных уравнения:

определяющих величины , как функции угла Если функции найдены, то соотношение между 0 и определится следующим равенством, вытекающим из (1.29):

После этого второе и пятое уравнения системы (1.28) дадут зависимость углов от времени помощи одной квадратуры. Таким образом, вопрос об интегрировании уравнений движения приводится к рассмотрению системы двух уравнений (1.31). Эта система может быть приведена к одному уравнению первого порядка известного типа [216]. Для этого произведем сначала в (1.31) замену независимой переменной в соответствии с равенством

Уравнения (1.31) примут форму

где К может рассматриваться как функция от новой независимой переменной а штрих означает дифференцирование по Из (1.34) имеем равепства

Исключив из этих равенств величину придем к уравнению

Введем еще вместо функции новую неизвестную функцию связанную с равенством

Из (1.35), (1.36) получим окончательно следующее дифференциальное уравнение относительпо функции

Такой тип уравнений пзучен Лиувпллем.