5. Уравнения Чаплыгина движения без скольжения твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости.

Пусть твердое тело движется без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости. Положение тела определяется пятью обобщенными координатами: двумя декартовыми коардипатами х, у центра тяжести и тремя углами Эйлера (в этом пушите мы будем использовать те же обозначения, что и в § 1 гл. 2). Условие отсутствия скольжения (равенство нулю абсолютной скорости точки М тела, которой оно касается опорной плоскости)

приводит к трем скалярным равепствам:

Последнее из этих равепстп совпадает с равенством (1.22) гл. 2 и является следствием геометрической связи где - расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости. Первые же два равепства представляют собой неннтегрируемые кинематические связи. Использовав соотношения (1.3) и (1.9) гл. 1 их можно записать в виде

где введены обозначения

Кинетическая и потепциальная энергии вычисляются по формулам (1.26) и (1.20) гл. 2. Так как , а также коэффициенты иеинтестрируемых связей (1.66) не зависят от координат то рассматриваемая механическая система — твердое тело при отсутствии скольжения на неподвижной горизонтальной плоскости — представляет собой пеголономную систему Чаплыгина. Дифференциальные уравнения движения этой системы могут быть записапы в форме уравнений Чаплыгина (см. § 7 гл. 1). Кинетическую эпергпю те да (1.26), подучающуюся после исключения из нее величин при помощи уравнений связей (1.66), обозначим через Т. Вычисления показывают, что

где величины выражаются чорез величины вычисляемые по формулам (1.29) гл. 2, при помощи соотношений

Величины представляют собой [70] осевые и центробежные моменты инерции тела по отношению к осям системы координат М (см. п. 2 § 4 гл. 2).

Положим Уравнения Чаплыгина (см. уравнения (7.13) гл. 1) можно представить в виде

Вычисления, использующие соотношения (4.22) и обозначения (4.17) гл. 2, показывают, что коэффициенты квадратичных форм в правых частях уравнений (1.70) не зависят от угла и определяются равенствами