3. О движении шара под действием вязкого трения скольжения.

Предположим, что действие опорной плоскости на шар сводится к одной силе приложенной в точке касания. Будем считать где — горизонтальная составляющая реакции плоскости, имеющая характер силы вязкого трения, — пормальная реакция плоскости. Сплу трения запишем в виде

где — вектор скорости скольжения шара, вычисляемый по формуле (1.1). Из уравнений движения (1.4), (1.5), как и в

случае сухого трения, следуют равенства (1.6). Горизонтальные составляющие угловой скорости шара и скорости его центра определяются дифференциальными уравнениями

Продифференцировав и из (1.1) по времени и учтя уравнения (1.39), (1.40), получим дифференциальное уравнение, определяющее зависимость скорости скольжештя от времени:

Отсюда следует, что

Таким образом, скорость скольжения имеет постоянное направление, совпадающее с направлением вектора начального скольжения; модуль скорости скольженпя, никогда не обращаясь в нуль, экспоненциально убывает со временем в соответствии с (1.42).

Из (1.39), (1.42) получаем ускорение центра шара

Ускорение центра шара имеет неизменное направлепие, противоположное направлению вектора ; с течением времени модуль ускорения экспоненциально убывает.

Интегрирование равенства (1.43) дает зависимость скорости центра шара от времени:

При вектор скорости центра шара стремится к постоянной величине определяемой равенством

Иптегрпрованпе равенства (1.44) дает такое выражение для горизонтальной составляющей радиуса-вектора центра шара:

Еслп вектор не коллинеарен вектору что то же самое, если вектор не ортогонален вектору то траекторией центра шара будет кривая, имеющая своей асимптотой при прямую, задаваемую уравнением

Если же векторы коллинеарны, то траекторией центра шара будет прямая, задаваемая уравнением (1.46).

В статье [193] исследовано движение тяжелого шара по горизонтальной плоскости, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг заданной вертикали. Рассмотрены случаи движения без скольжения и движения с учетом сил вязкого трения и трения качения. Показано, что под действием сил вязкого трения об окружающую среду центр однородного шара движется по скручивающейся спирали к состоянию покоя в неподвижной системе координат; положение точки покоя определяется величиной и направлением пачальной скорости центра шара. Под действием сил сопротивления качению движение центра шара в неподвижной системе координат представляет собой движение по кривой, приближающейся к раскручивающейся спирали с центром в начале координат.