3. Эволюция движения волчка на основе приближенной системы уравнений движения.

Для исследования движения сперва пренебрежем в системе (4.16) функциями Приближенная система дифференциальных уравнений имеет несколько решений, которые можно выписать как явные функции времени; часть из них будут просто положениями равновесия. Рассмотрение этих решений дает обширную информацию о движении волчка на конечном интервале времени. Не анализируя всех этих решений, остановимся на рассмотрении только двух вопросов об эволюции движения волчка, но не на конечном, а на бесконечном интервале времени. Один из них связан с эволюцией угла нутации при произвольном движении волчка, а другой — с имеющейся в некоторых случаях тенденцией симметрии волчка запять вертикальное положение. Рассмотрение этих вопросов начнем с анализа соответствующих решений приближенной системы.

Из последнего уравнения системы (4.16) при видно, что для любых движений волчка величина при стремится при к значению, равному независимо от начального значения , а при стремится к нулю или в зависимости от того, будет ли меньше или больше Таким образом, при движение, описываемое приближенной системой уравнений движения, таково, что в предельном (при движении ось наибольшего момента инерции волчка направлена вдоль вектора кинетического момента К.

Приближенная система уравнений движения допускает частные решения, отвечающие квазистационарным движениям тела:

Для решений (4.18) проекция центра тяжести на горизонтальную плоскость неподвижна, а его перемещение по вертикали описывается уравнением

Вектор кинетического момента К постоянен и направлен вдоль вертикали (вверх при и вниз при Движение

волчка относительно вектора К будет регулярной прецессией, в которой угол нутации медленно эволюционирует в соответствии с (4.18). Ось симметрии волчка стремится расположиться вертикально, если и горизонтально, если этом волчок вращается вокруг вертикали с угловой скоростью а вокруг оси симметрии с угловой скоростью если (т. е. имеет место резонанс то, как следует из с погрешностью порядка Угол нутации может пройти резонансного значения он либо стремится в резонанс (при ), либо (при ) выходит из резонансной зоны. Резонапсные зоны, соответствующие соотношениям существующим при проходятся при движении без нарушения характера эволюции угла нутации, описываемой формулой (4.18).

Из (4.18) и (4.19) следует, что за время эволюции центр тяжести волчка поднимется или опустится в зависимости от того, будет ли величина положительной или отрицательной.

Для решения (4.18) координаты ум точки касания волчка и плоскости в неподвижной системе координат будут такими:

а координаты точки касапия в связанной системе координат для решения (4.18) вычисляются по формулам

Траекторией точки касания на плоскости будет спираль, получающаяся из эволюционирующей окружности радиуса с центром в проекции центра тяжести волчка на плоскость. Эта спираль будет раскручивающейся (ось симметрии стремится занять горизонтальное положение) и скручивающейся при (ось симметрии стремится к вертикали). На поверхности волчка след точки касания также будет спиралью, которая при раскручиваясь, асимптотически приближается к окружности радиуса лежащей в сечении волчка плоскостью При след на поверхности волчка будет скручивающейся спиралью, стремящейся к точке поверхности сферы, лежащей на оси симметрии волчка.

Из (4.13), (4.14), (4.3) и (4.4) для решения (4.18) с погрешностью порядка 8 получаем

Отсюда следует, что, как и следовало ожидать (см. § 3), скорость и точки, которой волчок касается плоскости, асимптотически стремится к нулю, ни при каком конечном не обращаясь в нуль, т. е. волчок все время движется со скольжением.

Общий характер эволюции движения волчка можно было предвидеть на основании результатов § 2 и 3. Действительно, согласно § 2, для рассматриваемого волчка существует регулярная прецессия (2.23), для которой величина имеет порядок (в обозначениях данного параграфа Согласно (2.43) и (2.44), эта прецессия при достаточно малых устойчива, если и неустойчива, если

С другой стороны, согласно § 3, финальным движением рассматриваемого волчка может быть либо стациопарное вращение вокруг вертикальной оси симметрии (в частности, равновесие), либо регулярная прецессия. И если последняя неустойчива то положение оси симметрии в финальном движении волчка может быть только вертикальным.