§ 5. Асимптотический анализ динамики эллипсоида на плоскости с трением скольжения

1. Уравнения движения в случае сухого трения

В данном параграфе исследуется движение со скольжением тяжелого однородного эллипсоида по неподвижной горизонтальной плоскости при наличии сухого или вязкого трения [107]. Коэффициент трения считается постоянным. Эллипсоид близок к шару, трение мало. Исследование проводится методом усреднения.

Выпишем сначала уравнения, необходимые для решения задачи о движении со скольжением произвольного выпуклого тяжелого твердого тела по неиодвижпой шероховатой горизонтальной плоскости с сухим трепием. Пусть — неподвижная система координат с началом в некоторой точке опорной плоскости и вертикально направленной осью Единичным вектор вертикали обозначим через (тогда — это единичный вектор внешней нормали к поверхности тела, построенный в точке М касания тела и плоскости). С твердым телом свяжем систему координат с началом в его центре тяжести и осями, направленными по главным центральным осям инерции тела. Ориентация тела относительно неподвижной системы координат определяется при помощи матрицы А направляющих косинусов

В системе координат вектор имеет компопенты . Уравнение поверхности, ограничивающей тело, зададим в виде

Тогда (см. § 1 гл. 2)

Штрихом обозначена операция транспонирования.

Пусть — векторы скоростей точек М и тела, а их компоненты в неподвижной системе координат. Тогда

где — вектор мгиовепной угловой скорости тела, задаваемый в системе координат компонентами Пусть — компоненты реакции плоскости в системе координат Тогда в случае сухого трения

где — коэффициент трения, — угол между вектором и скорости точки касания и осью неподвижной системы координат. Предполагается, что т. е. движение происходит со скольжением.

Из уравнения связи означающего, что тело опирается на плоскость точкой М своей поверхности, вытекает кинематическое соотношение

Пусть — масса тела, А, В и С — его моменты инерции относительно осей соответственно, ускорение свободного падения. Из теорем об изменении количества движепия и кинетического момента получаем уравнения

В (5.8) и (5.9) не выписаны еще по два равенства, которые получаются соответственно из (5.8) и (5.9) одновременной круговой перестановкой символов, указанпых в фигурных скобках. Выпишем еще кинетические уравнения Пуассона

Уравнения (5.2) — (5.10) образуют замкнутую систему уравнений, описывающую задачу о движении со скольжением произвольного выпуклого тяжелого твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости при наличии сухого трения.