§ 5. Асимптотический анализ динамики эллипсоида на плоскости с трением скольжения
1. Уравнения движения в случае сухого трения
В данном параграфе исследуется движение со скольжением тяжелого однородного эллипсоида по неподвижной горизонтальной плоскости при наличии сухого или вязкого трения [107]. Коэффициент трения считается постоянным. Эллипсоид близок к шару, трение мало. Исследование проводится методом усреднения.
Выпишем сначала уравнения, необходимые для решения задачи о движении со скольжением произвольного выпуклого тяжелого твердого тела по неиодвижпой шероховатой горизонтальной плоскости с сухим трепием. Пусть 
— неподвижная система координат с началом в некоторой точке опорной плоскости и вертикально направленной осью 
Единичным вектор вертикали обозначим через 
(тогда 
— это единичный вектор внешней нормали к поверхности тела, построенный в точке М касания тела и плоскости). С твердым телом свяжем систему координат с началом в его центре тяжести 
и осями, направленными по главным центральным осям инерции тела. Ориентация тела относительно неподвижной системы координат определяется при помощи матрицы А направляющих косинусов
В системе координат 
вектор 
имеет компопенты 
. Уравнение поверхности, ограничивающей тело, зададим в виде
Тогда (см. § 1 гл. 2)
Штрихом обозначена операция транспонирования.
Пусть 
— векторы скоростей точек М и 
тела, а 
их компоненты в неподвижной системе координат. Тогда
где 
— вектор мгиовепной угловой скорости тела, задаваемый в системе координат 
компонентами 
Пусть 
— компоненты реакции 
плоскости в системе координат 
Тогда в случае сухого трения
где 
— коэффициент трения, 
— угол между вектором и скорости точки касания и осью 
неподвижной системы координат. Предполагается, что 
т. е. движение происходит со скольжением.
Из уравнения связи 
означающего, что тело опирается на плоскость точкой М своей поверхности, вытекает кинематическое соотношение
Пусть 
— масса тела, А, В и С — его моменты инерции относительно осей 
соответственно, 
ускорение свободного падения. Из теорем об изменении количества движепия и кинетического момента получаем уравнения
В (5.8) и (5.9) не выписаны еще по два равенства, которые получаются соответственно из (5.8) и (5.9) одновременной круговой перестановкой символов, указанпых в фигурных скобках. Выпишем еще кинетические уравнения Пуассона
Уравнения (5.2) — (5.10) образуют замкнутую систему уравнений, описывающую задачу о движении со скольжением произвольного выпуклого тяжелого твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости при наличии сухого трения.
