§ 5. Уравнения движения твердого тела

Рассмотрим движение свободного твердого тела. Если бы на него были наложены связи, то задачу о его движении можно было бы свести к задаче о движении свободного тела путем отбрасывания связей и введения соответствующих реакций. Уравнения движения твердого тела могут быть получены из теоремы о движении центра инерции и теоремы об изменении кинетического момента.

Движение твердого тела (можно рассматривать как совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольной точки тела (полюса) и вращения тела вокруг этой точки. И в основных теорем динамики следует, что за яголюс удобно принять центр масс тела. Действительно, согласно теореме о движении центра инерции, последний движется как материальная точка, к которой приложены все силы системы, а теорема об изменении кинетического момента для движения относительно центра масс формулируется так же, как и для неподвижного полюса.

1. Уравнения, отнесенные к неподвижным осям. Пусть — скорость центра масс тела в неподвижной системе координат кинетический момент тела относительно центра главный вектор внешних сил, — главный момент внешнпх сил относительно центра масс. Из теоремы о движении центра масс теоремы об изменении кинетического момента, чаем два векторных уравнения:

Тхаждое из этих векторпых уравнений может быть заменено тремя скалярными:

где у, z — координаты центра масс, а индексами х, у, z отмечены проекции векторов на соответствующие оси.

2. Уравнения движения, отнесенные к осям, жестко связанным с телом. Обозначим через жестко связапную с телом систему координат, оси которой направлены вдоль главных центральных осей инерции тела. Пусть — угловая скорость тела. Использовав связь (1.10) абсолютной и относительной производных вектора, уравнения (5.1) можно записать в виде

Проектируя обе части этих уравнений на оси и пользуясь равенствами (3.26), получаем шесть скалярных дифференциальных уравнений движения твердого тела, записанных в проекциях на жестко связанной с телом системы координат

Индексами здесь обозначепы проекции векторов на Уравнения (5.6) называются динамическими уравнениями Эйлера. Вообще говоря, система уравнений (5.5), (5.6) должиа рассматриваться совместно с кинематическими уравнениями Эйлера (1.9).

3. Уравнения движения твердого тела по отношению к осям, имеющим произвольно заданное движение. Получим дифференциальные уравнения движения твердого тела относительно системы координат, совершающей произвольное движение. Имея в

виду дальнейшее применение этих уравнений в задаче о движении твердого тела по поверхности, мы будем следовать работам [33, 301]. Пусть — неподвижная систама координат, а система координат жестко связана с телом. Обозначим через проекции скорости полюса О и мгновенной угловой скорости твердого тела на Согласпо формуле (3.14), кинетическая энергия тела будет квадратичной формой величин с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим еще систему координат Предполагаем, что координаты ее начала в системе и девять направляющих косинусов, задающих взаимную ориентацию систем

заданы либо как функции времени либо как функции параметров, определяющих положение твердого тела.

Проекции на оси мгновеппой угловой скорости со тела и проекции на те же оси скорости той точки тела, которая в данпый момент времени совпадает с началом системы координат согласно (1.4) и (5.7), будут такими:

Разрепгав уравнения (5.8) относительно получим

Обозначим черев Т кинетическую энергию тела Т, выраженную

переменные . В соответствии с (5.9) имеем

зсзз» где введены обозначения

Из (3.21), (5.7) и (5.10) следует, что частные производные от функции Г по суть проекции вектора количества движения тела на оси соответственно:

Воспользовавшись далее формулой (3.27), получим, что величины равны проекциям кинетического момента тела относительно точки на соответственно. Поэтому из (5.7) и (5.11) вытекает, что частные производные от функции Т по равны проекциям вектора на оси

Пусть -угловая скорость спстемы координат — скорость ее начала относительно неподвижной системы координат, и — главный вектор и главный момент внешних Опираясь на равенства (1.10) и (4.3), векторные дифференциальные уравнения движения твердого тела можно записать в виде

Твердое тело вращается относительно системы с угловой скоростью проекции которой на

согласно вычисляются по формулам

Так как то проекциями на оси будут соответственно величины

Для нахождения проекций вектора абсолютной скорости точки на оси заметим, что где скорость геометрической точки относительно твердого тела, а — скорость той точки тела, которая в данный момент совпадает с точкой . В системе координат вектор имеет компоненты ; его компоненты в системе координат согласно (5.7), будут такими:

Вспоминая, что вектор в системе имеет компоненты получаем, что проекциями абсолютной скорости точки на будут величины ,

Проектируя теперь обе части векторных уравнепий (5.14) на оси получаем уравнения движения твердого тела по отношению произвольно движущейся системе координат в такой форме: