§ 6 Шар Чаплыгина на плоскости с трением скольжения

Пусть тяжелое твердое тело сферической формы движется со скольжением по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости. Будем считать, что тело является шаром Чаплыгина, т. е. его геометрический центр совпадает с центром тяжести, а главные центральные моменты инерции различны. Движение шара отнесем к неподвижной системе координат с началом в точке О опорной плоскости и направленной вертикальпо вверх осью . С шаром жестко свяжем систему координат образованную главными центральными осями инерции. Через обозначим массу, а через — моменты инерции шара относительно осей радиус шара равен Считаем, что касание шара и плоскости происходит в одной точке в которой к шару со стороны плоскости помимо нормальной реакции приложена еще сила трения скольжения, которое может быть либо вязким, либо сухим. Динамика шара Чаплыгина для этих двух моделей трения скольжения исследована в [131, 133—135]. Ниже рассматривается только вязкое трение.

1. Уравнения движения в случае вязкого трения и их первые интегралы.

Пусть — координаты центра тяжести шара в неподвижной системе координат Из теоремы об изменении количества движения следует, что в случае вязкого трения величины х, у удовлетворяют уравнениям

где — коэффициент вязкого трения, их — проекции скорости точки которой шар касается плоскости, на оси и соответственно:

— проекции вектора угловой скорости со тела на оси

Пусть — компоненты вектора К кинетического момента шара относительно его центра тяжести на соответствующие оси неподвижной системы координат, а проекции на эти оси кинетического момента шара относительно точки его касания М с опорной плоскостью. Теорема об изменении кинетического момента дает уравнения

Из (6.1), (6.3) видно, что существуют три первых интеграла

которые, впрочем, являются следствием сохранения вектора кинетического момента шара относительно точки касания.

Выпишем еще выражение для производной по времени от кинетической энергии Т движения шара относительно его центра тяжести:

Из (6.4) найдем величины и подставим их в (6.5) и первые два уравнения (6.3). Если затем еще ввести вместо Т новую переменную :

где квадрат модуля вектора кинетического момента шара относительно центра тяжести:

то первые два уравнения из (6.3) и уравнение (6.5) примут вид следующих трех уравнений, которые и будут положены в основу дальнейшего анализа движения шара по плоскости с вязким трением:

Обозначим через величины, обратные Ясно, что Эти неравенства определяют в пространстве переменных , а область которая представляет собой часть пространства, заключенную между двумя параллельными плоскостями, соответствующими вращениям шара вокруг осей наибольшего и наименьшего моментов инерции (рис. 45).