Главная > Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 10. К геометрической интерпретации Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера

Полученная Л. Пуансо [277] геометрическая интерпретация движения твердого тела в случае Эйлера стимулировала целый ряд исследований, посвященных детальному выяснению различных сторон геометрического характера движения. Последовательный и систематический анализ содержится в обзоре П. В. Воронца [27].

Много интересных выводов об интерпретации Пуансо содержится в работе Дж. Сильвестра [291]. Вот самый простой из

них: «Однородный материальный эллипсоид того же размера и той же формы, что и эллипсоид инерции данного тела, имеющий неподвижный центр и катящийся по плоскости, расположенной так же, как и неподвижная плоскость Пуансо, может быть приведен в движение таким образом, что в дальнейшем он будет двигаться совершенно одинаково с данным вращающимся телом. Иными словами, положение главных осей инерции и угловые скорости вокруг этих осей будут всегда одинаковыми в обоих случаях». Сформулированное утверждение является одной из нескольких теорем динамики твердого тела, называемых теоремами Сильвестра [54, 91, 146].

В связи с интерпретацией Пуансо и теоремой Сильвестра рассмотрим следующую задачу [104]. Пусть твердое тело, ограниченное эллипсоидальной поверхностью, движется без скольжения по горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Центр поверхности тела совпадает с его центром масс, а главные оси поверхности направлены по главным центральным осям инерции твердого тела, не являющегося, вообще, однородным. Требуется найти условия, которым должны удовлетворять геометрия масс тела и полуоси его эллипсоидальной поверхности и при выполнении которых тело может двигаться так, что его цеитр тяжести остается неподвижным.

Из условия отсутствия скольжения следует, что центр тяжести тела будет неподвижен, если вектор его мгновенной угловой скорости коллинеарен радиусу-вектору точки касания поверхности тела и горизонтальной опорной плоскости:

Величину будем считать постоянной.

Уравнения движения тела имеют вид (8.3), (8.4). Условия совместности уравнений (10.1), (7.1), (8.3) и (8.4) будут условиями существования движений, для которых центр тяжести тела неподвижен. Если при помощи условия (10.1) исключить из уравнений (8.3) и (8.4) переменные , то получим, что величины должны удовлетворить двум системам дифференциальных уравнений

где введено обозначение

а величина А определена равенством (8.2). При помощи уравнений (8.4) можно непосредственной проверкой показать, что величина А при условии (10.1) не изменяется во время движения; поэтому а — постоянная величина.

Системы (10.2) и (10.3), очевидно, не противоречат одна другой в частном случае движения твердого тела, когда оно совершает чистое верчение вокруг одной из своих вертикально расположенных главных центральных осей инерции. Чтобы они не были противоречивы в общем случае движения, надо потребовать выполнения следующих равенств:

Если ввести обозначения

то равенства (10.5) запишутся в виде следующей неоднородной системы трех линейных уравнений относительно величин

Вычисления показывают, что определитель основной матрицы системы (10.7) тождественно равен нулю, а необходимое и достаточное условие совместности этой системы записывается в виде равенства

Это условие выполняется в трех случаях: 1) когда тело ограничено сферической поверхностью, т. е. при когда поверхность, ограничивающая твердое тело, будет эллипсоидом вращения, например при при т. е. когда движение происходит в отсутствие поля тяжести.

В первом случае из (10.5) следует, что т. е. центр тяжести для твердого тела будет его шаровой точкой. Центр тяжести неподвижен, если тело находится в режиме чистого верчения; при этом тело касается опорной плоскости произвольной точкой своей сферической поверхности.

Во втором случае из (10.5) следует, что т. е. тело обладает геометрической и динамической симметрией с осью симметрии Движения, при которых центр тяжести тела неподвижен, будут частными случаями регулярных прецессий тела, изученных в § 3.

В третьем случае, когда решение системы (10.7) зависит от одного произвольного параметра к, и его можно записать в виде откуда в соответствии с равенствами (10.6) получаем, что и

Равенства (10.9) означают, что поверхность тела (7.1) подобна центральному эллипсоиду инерции твердого тела, которое она ограничивает.

При и при выполнении условий (10.9) системы уравнений (10.2) и (10.3) одинаковы и представляют собой классические динамические уравнения Эйлера движения твердого тела до инерцип. Из (10.1), (7.1) и (10.9) следует, что где Т — кинетическая энергия тела. Траектории точки касания М на поверхности тела (7.1) и на опорной горизонтальной плоскости получаются соответственно из полодий и герполодий при помощи гомотетии с коэффициентом и центром, совпадающим с центром масс тела.

Таким образом, в отсутствие поля тяжести твердое тело, ограниченное эллипсоидальной поверхностью, только тогда может совершать движение Эйлера — Пуансо, когда его эллипсоид инерции для центра масс и ограничивающая тело поверхность геометрически подобны. Это утверждение дополняет сформулированную выше теорему Сильвестра и является ее обращением для случая движения тела вне поля тяжести.

1
Оглавление
email@scask.ru