Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 10. К геометрической интерпретации Пуансо движения твердого тела в случае ЭйлераПолученная Л. Пуансо [277] геометрическая интерпретация движения твердого тела в случае Эйлера стимулировала целый ряд исследований, посвященных детальному выяснению различных сторон геометрического характера движения. Последовательный и систематический анализ содержится в обзоре П. В. Воронца [27]. Много интересных выводов об интерпретации Пуансо содержится в работе Дж. Сильвестра [291]. Вот самый простой из них: «Однородный материальный эллипсоид того же размера и той же формы, что и эллипсоид инерции данного тела, имеющий неподвижный центр и катящийся по плоскости, расположенной так же, как и неподвижная плоскость Пуансо, может быть приведен в движение таким образом, что в дальнейшем он будет двигаться совершенно одинаково с данным вращающимся телом. Иными словами, положение главных осей инерции и угловые скорости вокруг этих осей будут всегда одинаковыми в обоих случаях». Сформулированное утверждение является одной из нескольких теорем динамики твердого тела, называемых теоремами Сильвестра [54, 91, 146]. В связи с интерпретацией Пуансо и теоремой Сильвестра рассмотрим следующую задачу [104]. Пусть твердое тело, ограниченное эллипсоидальной поверхностью, движется без скольжения по горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Центр поверхности тела совпадает с его центром масс, а главные оси поверхности направлены по главным центральным осям инерции твердого тела, не являющегося, вообще, однородным. Требуется найти условия, которым должны удовлетворять геометрия масс тела и полуоси его эллипсоидальной поверхности и при выполнении которых тело может двигаться так, что его цеитр тяжести Из условия отсутствия скольжения следует, что центр тяжести тела будет неподвижен, если вектор
Величину Уравнения движения тела имеют вид (8.3), (8.4). Условия совместности уравнений (10.1), (7.1), (8.3) и (8.4) будут условиями существования движений, для которых центр тяжести тела неподвижен. Если при помощи условия (10.1) исключить из уравнений (8.3) и (8.4) переменные
где введено обозначение
а величина А определена равенством (8.2). При помощи уравнений (8.4) можно непосредственной проверкой показать, что величина А при условии (10.1) не изменяется во время движения; поэтому а — постоянная величина. Системы (10.2) и (10.3), очевидно, не противоречат одна другой в частном случае движения твердого тела, когда оно совершает чистое верчение вокруг одной из своих вертикально расположенных главных центральных осей инерции. Чтобы они не были противоречивы в общем случае движения, надо потребовать выполнения следующих равенств:
Если ввести обозначения
то равенства (10.5) запишутся в виде следующей неоднородной системы трех линейных уравнений относительно величин
Вычисления показывают, что определитель основной матрицы системы (10.7) тождественно равен нулю, а необходимое и достаточное условие совместности этой системы записывается в виде равенства
Это условие выполняется в трех случаях: 1) когда тело ограничено сферической поверхностью, т. е. при В первом случае из (10.5) следует, что Во втором случае из (10.5) следует, что В третьем случае, когда
Равенства (10.9) означают, что поверхность тела (7.1) подобна центральному эллипсоиду инерции твердого тела, которое она ограничивает. При Таким образом, в отсутствие поля тяжести твердое тело, ограниченное эллипсоидальной поверхностью, только тогда может совершать движение Эйлера — Пуансо, когда его эллипсоид инерции для центра масс и ограничивающая тело поверхность геометрически подобны. Это утверждение дополняет сформулированную выше теорему Сильвестра и является ее обращением для случая движения тела вне поля тяжести.
|
1 |
Оглавление
|