§ 10. К геометрической интерпретации Пуансо движения твердого тела в случае Эйлера

Полученная Л. Пуансо [277] геометрическая интерпретация движения твердого тела в случае Эйлера стимулировала целый ряд исследований, посвященных детальному выяснению различных сторон геометрического характера движения. Последовательный и систематический анализ содержится в обзоре П. В. Воронца [27].

Много интересных выводов об интерпретации Пуансо содержится в работе Дж. Сильвестра [291]. Вот самый простой из

них: «Однородный материальный эллипсоид того же размера и той же формы, что и эллипсоид инерции данного тела, имеющий неподвижный центр и катящийся по плоскости, расположенной так же, как и неподвижная плоскость Пуансо, может быть приведен в движение таким образом, что в дальнейшем он будет двигаться совершенно одинаково с данным вращающимся телом. Иными словами, положение главных осей инерции и угловые скорости вокруг этих осей будут всегда одинаковыми в обоих случаях». Сформулированное утверждение является одной из нескольких теорем динамики твердого тела, называемых теоремами Сильвестра [54, 91, 146].

В связи с интерпретацией Пуансо и теоремой Сильвестра рассмотрим следующую задачу [104]. Пусть твердое тело, ограниченное эллипсоидальной поверхностью, движется без скольжения по горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Центр поверхности тела совпадает с его центром масс, а главные оси поверхности направлены по главным центральным осям инерции твердого тела, не являющегося, вообще, однородным. Требуется найти условия, которым должны удовлетворять геометрия масс тела и полуоси его эллипсоидальной поверхности и при выполнении которых тело может двигаться так, что его цеитр тяжести остается неподвижным.

Из условия отсутствия скольжения следует, что центр тяжести тела будет неподвижен, если вектор его мгновенной угловой скорости коллинеарен радиусу-вектору точки касания поверхности тела и горизонтальной опорной плоскости:

Величину будем считать постоянной.

Уравнения движения тела имеют вид (8.3), (8.4). Условия совместности уравнений (10.1), (7.1), (8.3) и (8.4) будут условиями существования движений, для которых центр тяжести тела неподвижен. Если при помощи условия (10.1) исключить из уравнений (8.3) и (8.4) переменные , то получим, что величины должны удовлетворить двум системам дифференциальных уравнений

где введено обозначение

а величина А определена равенством (8.2). При помощи уравнений (8.4) можно непосредственной проверкой показать, что величина А при условии (10.1) не изменяется во время движения; поэтому а — постоянная величина.

Системы (10.2) и (10.3), очевидно, не противоречат одна другой в частном случае движения твердого тела, когда оно совершает чистое верчение вокруг одной из своих вертикально расположенных главных центральных осей инерции. Чтобы они не были противоречивы в общем случае движения, надо потребовать выполнения следующих равенств:

Если ввести обозначения

то равенства (10.5) запишутся в виде следующей неоднородной системы трех линейных уравнений относительно величин

Вычисления показывают, что определитель основной матрицы системы (10.7) тождественно равен нулю, а необходимое и достаточное условие совместности этой системы записывается в виде равенства

Это условие выполняется в трех случаях: 1) когда тело ограничено сферической поверхностью, т. е. при когда поверхность, ограничивающая твердое тело, будет эллипсоидом вращения, например при при т. е. когда движение происходит в отсутствие поля тяжести.

В первом случае из (10.5) следует, что т. е. центр тяжести для твердого тела будет его шаровой точкой. Центр тяжести неподвижен, если тело находится в режиме чистого верчения; при этом тело касается опорной плоскости произвольной точкой своей сферической поверхности.

Во втором случае из (10.5) следует, что т. е. тело обладает геометрической и динамической симметрией с осью симметрии Движения, при которых центр тяжести тела неподвижен, будут частными случаями регулярных прецессий тела, изученных в § 3.

В третьем случае, когда решение системы (10.7) зависит от одного произвольного параметра к, и его можно записать в виде откуда в соответствии с равенствами (10.6) получаем, что и

Равенства (10.9) означают, что поверхность тела (7.1) подобна центральному эллипсоиду инерции твердого тела, которое она ограничивает.

При и при выполнении условий (10.9) системы уравнений (10.2) и (10.3) одинаковы и представляют собой классические динамические уравнения Эйлера движения твердого тела до инерцип. Из (10.1), (7.1) и (10.9) следует, что где Т — кинетическая энергия тела. Траектории точки касания М на поверхности тела (7.1) и на опорной горизонтальной плоскости получаются соответственно из полодий и герполодий при помощи гомотетии с коэффициентом и центром, совпадающим с центром масс тела.

Таким образом, в отсутствие поля тяжести твердое тело, ограниченное эллипсоидальной поверхностью, только тогда может совершать движение Эйлера — Пуансо, когда его эллипсоид инерции для центра масс и ограничивающая тело поверхность геометрически подобны. Это утверждение дополняет сформулированную выше теорему Сильвестра и является ее обращением для случая движения тела вне поля тяжести.