§ 7. О бифуркационном множестве в задаче о движении твердого тела по плоскости

В статье С. Смеила [171] разработан метод топологического анализа систем с симметрией. Предложенная в [171] техника исследования упрощена в статье [190]. В этом параграфе, следуя работе [134], мы используем метод Смейла для анализа качественных свойств движения тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Основное внимание будет уделено установлению топологического типа областей возможности движения на сфере Пуассона где — направляющие косинусы вертикали в системе координат оси которой направлены по главным центральным осям инерции тела:

Без ограничения общности будем считать, что проекция центра тяжести на опорную горизоптальную плоскость неподвижна. Как отмечалось выше, высота центра тяжести над плоскостью зависит от формы поверхности тела и его ориентации относительно неподвижной системы координат, причем зависит не ото всех углов Эйлера а только от угла нутации и угла собственного вращения Так же, как и в классической задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки [5], конфигурационное пространство системы есть ортогональпая группа вращений трехмерного пространства

, а фазовое пространство будет касательным расслоением являющимся прямым произведением

Пусть суть кинетическая, потенциальная и полная энергия, а — проекция кинетического момента тела относительно центра тяжести на вертикаль. Группа вращений вокруг вертикали действует на не меняя значений Таким образом, тяжелое твердое тело на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости является механической системой с симметрией [171].

Полная энергия Е: и момент количества движения тела вокруг проходящей через центр тяжести вертикали являются первыми интегралами. Отображение называется интегральным отображением. Множества , т. е. совместные многообразия уровней первых интегралов

являются инвариантными многообразиями фазового потока. Это означает, что всякая траектория системы дифференциальных уравнений движения твердого тела, пересекающая множество содержится в нем целиком.

Строение инвариантных многообразий (7.2) важно для качественной характеристики задачи, так как оно позволяет получить важную информацию о структуре фазового пространства.

Если точка является точкой общего положения, то существует окрестность этой точки, над которой интегральное отображение является расслаивающим. Точки из для которых это свойство не выполняется, т. е. над которыми отображение является локально расслаивающим, образуют бифуркационное множество 2. Бифуркационное множество — это такое минимальное подмиожество из что над каждой компонентой топологический тип инвариантных многообразий фазового потока не меняется; это означает, что при множества диффеоморфны, если точки достаточно близки. Нахождение бифуркационного множества 2 является основной задачей при исследовании топологии интегрального отображения Критические точки отображения — это в точности относительные равновесия (если , то это — обычное равновесие в неподвижной системе координат).

Пусть есть проекция множества на Множество называют областью возможности движения состоит из тех точек для которых где — эффективный (приведенный) потенциал задачи. В случае движения тяжелого твердого тела по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости эффективный потенциал определяется по формуле (см. § 1)

Симметрия задачи позволяет понизить размерность исключением вращения вокруг вертикали. Профакторизованное но действию группы 51 конфигурационное пространство есть сфера Пуассона . Формула (7.3) определяет фактор-функцию на Эффективный потенциал включает в себя потенциальную энергию тела и кинетическую эпергшо его вращения вокруг вертикали. Относительные равновесия — это перманентные вращения тела вокруг вертикали. Профакторизованные по действию группы 51 множества возможности движения обозначим через т. е.

В приложениях удобно искать множества на множества на Изменение топологического типа на сфере происходит при . В силу компактности бифуркациоииоэ множество Е совпадает с множеством критических точек нитегрального отображения т. е. с множеством критических значений приведенного потенциала описывается уравнениями

которые, конечно, совпадают с условиями существования перманентных вращений, рассмотренных в § 4.

Изображение бифуркационного множества в (бифуркационная диаграмма) разбивает на связные области, в каждой которых топологический тип области возможного движения сохраняется. После того как это разбиение осуществлено, возникает задача установить этот тип в каждой из областей. Это можно сделать с помощью теорпи Морса [121].

Рассмотрим конкретные примеры. В качестве первого примера рассмотрим движение твердого тела, имеющего сферическую поверхность, причем центр тяжести тела не совпадает с центром его поверхности — сферы. Формула (7.3) для эффективного потенциала в этом случае такая же, как и в случае движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Последний случай подробно изучен в статьях [78, 89, 189, 190]. Таким образом, если игнорировать возможность отрыва шара от опорной плоскости, то бифуркационное множество в задаче о движении неоднородного шара по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости совпадает с бифуркационным множеством задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки.

В качестве второго примера рассмотрим движение трехосного однородного эллппсопда. Пусть — длины его полуосей . В системе координат поверхность эллипсоида задается уравнением (5.1). В соответствии с (5.7) имеем

где расстояние от центра тяжести до опорной плоскости. Как показало в § 5, критическими точками функции (7.5) являются точки, отвечающие перманентному вращению эллипсоида вокруг любой его вертикально расположенной оси. Там же исследована устойчивость этих вращений.

Таким образом, получаем, что бифуркационное множество состоит из трех непересекающихся парабол, расположенных одна над другой (рис. 25):

Нижняя парабола соответствует устойчивому перманентному вращению вокруг меньшей оси На сфере Пуассона этому вращению отвечают две невырожденные точки фуншцип индексы этих критических точек равны нулю. Средняя парабола на бифуркационной диаграмме соответствует неустойчивому вращению эллипсоида вокруг средней оси Две невырожденные критические точки функции соответствующие этому вращению, пмеют индекс X, равный единице. И наконец, верхняя парабола на рис. 25 отвечает вращению вокруг наибольшей Этому вращению на сфере Пуассоиа соответствуют точки с индексом

Изменение топологического типа множества возможности движения на происходит при прохождении точки через одну из парабол на рис. 25.

Рис. 25

Рис. 26

Топологический тип сверху вниз на рис. 25 меняется в последовательности: (вся сфера), (кольцо), (два диска), 0 (пустое множество). Здесь суть n-мерные шар сфера. Множество можно трактовать как множество, которое пересекает вертикальная ось на поверхности тела при его движении. Это множество гомеоморфно множествам, заштрихованным на сферах и приведенным в указанной выше последовательности.