2. Устойчивость перманентных вращении тела вокруг главной оси инерции.

Пусть главная центральная ось инерции ортогональна поверхности тела в точке их пересечения при отрицательных значениях Тогда если то правые и левые части уравнений системы (5.2) обращаются в нуль одновременно при произвольном значении . Следовательно, уравнения движения (1.70) имеют частное решение

отвечающее вращению тела с произвольной постоянной угловой скоростью вокруг покоящейся оси занимающей вертикальное положение.

Введем возмущения , положив

Уравнения возмущенного движения будут такими:

Здесь функции переменных разложения которых в ряды по степеням этих переменных

начинаются с членов не ниже второго порядка, причем

Пренебрегая членами выше второго порядка относительно имеем следующие выражения для функций :

В последнем выражении для величины линейные функции получаемые из первых двух уравнений системы если в них положить расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости; величины определяются соотношениями (4.17) гл. 2; — главные радиусы кривизны поверхности тела в точке его касания с плоскостью; а — угол между осью и линией кривизны, соответствующей в невозмущенном движении (угол а отсчитывается от оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси занимающей вертикальное положение в движении Через в (6.4) обозначены квадратичные формы относительно ; их явный вид в дальнейшем не потребуется.

Характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения (6.3) пмеет вид

где

К системе (6.3) применима теорема Ляпунова — Малкина об устойчивости движений в особенном случае критического случая

одного нулевого корня (см. п. 2 § 5). Из этой теоремы и критерия Рауса—Гурвица получаем [64], что при выполнепии условий

стационарное вращение (6.1) устойчиво, причем асимптотически по отношепию к возмущениям величин При строгом нарушении хотя бы одного из неравенств (6.6), (6.7) движение (6.1) неустойчиво.

Неравенства (6.6) задают ограничения на распределение масс, геометрию поверхности тела и величину угловой скорости, а неравенство (6.7) налагает ограничения и на знак угловой скорости (направление вращения тела); при устойчивом вращении меньшая горизонтальная ось центрального эллипсоида инерции идет впереди линии наибольшей кривизны поверхности тела в точке его касания с плоскостью в невозмущенном движении.

При выполнении условий (6.6), (6.7) всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически стремится к перманентному вращению с возмущенной угловой скоростью вокруг главной оси положение которой асимптотически стремится к вертикальному. Зависимость условий устойчивости от знака со и наличие асимптотической устойчивости по всем, кроме переменным существенно отличает условия устойчивости перманентных вращений твердого тела вокруг главной центральной оси инерции на абсолютно шероховатой и абсолютно гладкой плоскостях. В последнем случае условия устойчивости (см. неравенства (4.30) гл. 2) не зависят от знака , кроме того, невозможна асимптотическая устойчивость по части переменных.

Если то при достаточно малых I со I стационарное вращение (6.1) неустойчиво независимо от знака со, так как при малых I со I неравенства (6.6) несовместны. Отсюда вытекает еще одно отличие задачи об устойчивости перманентных вращений тела вокруг главной центральной оси инерции на абсолютно шероховатой и абсолютно гладкой плоскостях: устойчивые как на гладкой, так и на шероховатой плоскости равновесия тела переходят при малых в медленные перманентные вращения вокруг главной центральной оси инерции; эти вращения устойчивы на абсолютно гладкой плоскости (см. условия (4.30) гл. 2) и неустойчивы на абсолютно шероховатой.

При увеличении перманентное вращение тела на абсолютно шероховатой плоскости может стать устойчивым. Явление потери устойчивости при критическом значении исследовано в [72]. Показано, что это явление сопровождается возникновением периодических движений тела при околокритических значениях его полной механической энергии.

Отметим еще, что если перманентное вращение тела происходит вокруг главной центральной оси инерции, отвечающей наибольшему из моментов инерции то, как это видно из условий (4.30) гл. 2, на абсолютно гладкой илоскостп это вращелие может быть устойчивым при сколь угодно высоком положении центра тяжестп тела, если угловая скорость вращения тела достаточно велика. На абсолютно шероховатой плоскости это не так: как показывает анализ условий (6.6), (6.7), перманентное вращение на абсолютно шероховатой плоскости всегда неустойчиво, если центр тяжести тела находится выше некоторого (зависящего от ) критического положения, заключенного между наименьшим и наибольшим радиусами кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью в невозмущенном движении [70].

Если хотя бы одна из величин равна нулю, то и неравенство (0.7) не выполняется. Характеристическое уравнение (6.5) по-прежнему имеет один нулевой корень, а остальные четыре корня удовлетворяют биквадратному уравнению. Пусть биквадратное уравнение имеет две пары чисто мнпмых корней Тогда движение (6.1) устойчиво в линейном приближении. Рассмотрим корни уравнения (6.5) при малых Вычисления показывают, что в первом приближении относительно корней помимо поправок к их мнимым частям появляются еще и вещественные части:

Пусть т. е. неравенство (0.7) удовлетворяется. Из (0.8) тогда следует, что если то и малые колебания тела, близкие его стационарному вращению (6.1), будут экспоненциально затухать; если то и экспоненциально затухают высокочастотные колебания (с частотой ), а низкочастотные (с частотой ) экспоненциально возрастают; если же то, наоборот, затухают низкочастотные колебания, а высокочастотные растут. При характер развития малых колебаний будет противоположным.