§ 7. Некоторые дифференциальные уравнения аналитической динамики

В этом параграфе приведены те из дифференциальных уравнений аналитической динамики, которые потребуются в последующих главах.

1. Уравнения Лагранжа второго рода. Рассмотрим движение голономиой системы с степенями свободы. Обобщенные координаты обозначим через Пусть элементарная работа сил системы на ее виртуальном перемещении, задаваемом величинами может быть записана в впде

Величина называется обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате Пусть — кинетическая энергия системы. Уравнения двнжепия материальной системы могут быть записаны [34] в форме дифференциальных уравнений второго порядка

Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода.

Предположим, что силы системы потенциальны, т. е. существует функция (называемая потенциалом или

потенциалъной энергией) такая, что

Если ввести функцию (функцию Лагранжа) по формуле

то уравнения (7.2) примут вид

2. Уравнения Гамильтона. Уравнениям (7.5) можно придать изящную симметричную форму, полученную Гамильтоном. Введем величины (обобщенные импульсы) по формулам

и составим функцию

Так как гессиан функции по обобщенным скоростям отличен от нуля, то уравнения (7.6) разрешимы относительно Разрешив уравнения (7.6) и подставив полученные при этом функции в правую часть выражения (7.7), получим функцию Эта функция называется функцией Гамильтона. Если вместо переменных в качестве переменных, описывающих состояние системы, принять величины то дифференциальные уравнения движения примут вид [34]

3. Уравнения Рауса для системы с циклическими координатами. Пусть изучаемая система голономна, а функция Лагранжа не зависит от некоторых из обобщенных координат — циклические координаты. Тогда [34] для уравнений (7.5) существует первых интегралов

Пусть гессиан функции Лагранжа по переменным да отличен от нуля. Тогда уравнения (7.9) разрешимы относительно Составим функцию

Исключив из нее переменные при помощи (7.9), получим

функцию которая называется функцией Рауса.

При помощи функции Рауса система дифференциальных уравнении, описывающая изменение нециклических переменных (позиционных координат) со временем, может быть записана в виде [34]

Система (7.11) называется приведенной системой. Ее порядок на единиц меньше порядка ргсходной спстемы (7.5). Можно сказать, что исследование движения в системе с степенями свободы привелось к исследованию движения в системе с степенями свободы.

4. Уравнения Чаплыгина. Пусть положение спстемы определяется обобщенными координатами и на нее наложены пеинтегрируемые связи вида

где — функции обобщенных координат. Пусть Т — кинетическая энергия, потепциал сил системы. Если и все коэффициенты в уравпетъиях связей (7.12) не зависят от обобщенных координат то рассматриваемую неголономную систему называют системой Чаплыгина. Дифференциальные уравнения движения таких систем получены С. А. Чаплыгиным в работе [202]. Они имеют вид

Через Г здесь обозначена функция, получающаяся из Т в результате исключения обобщенных скоростей с помощью уравнений связей (7.12).

Уравнения (7.13) носят название уравнений Чаплыгина. Если в них в выражениях для импульсов исключить с помощью уравнений связей (7.12) величины то получим систему уравнений относительно функций Следовательно, уравнения Чаплыгнпа, число которых равно числу степеней свободы системы, позволяют независимо от уравнении связей (7.12) найти Если функции уже найдены, то остальные функции найдутся из уравнений связей (7.12) при помощи квадратур.

Если для всех выполняются равенства

То кинематические связи (7.12) будут иптегрируемы, и уравнения Чаплыгина (7.13) принимают вид уравнений Лагранжа второго рода.

5. Уравнения Воронца. В своих работах [28, 29, 31, 300] П. В. Воронец получил дифференциальные уравнения движения неголоиомных систем с более широким классом связей, нежели системы Чаплыгина.

Обозначим через обобщенные координаты системы и предположим, что уравнения иеинтегридруемых кинематических связей имеют вид

где величипы являются, вообще говоря, функциями всех обобщенных координат и времени ?. Определим величины по формулам

Так как связи (7.15) неинтегрируемы. то величипы не могут быть все одновременно тождественно равными пулю.

Пусть суть кинетическая эиергия системы и обобщенные импульсы выраженные при помощи (7.15) только через первые обобщенных скоростей так что

— обобщенная сила, соответствующая обобщенной координату Если обобщенные силы зависели от обобщенных скоростей то последние считаются исключенными из при помощи уравнений связей (7.15).

Дифференциальные уравнения движения системы запишутся в виде

Эти уравнения называются уравнениями Воронца. Вместе с уравнениями связей (7.15) они составляют систему к уравнений относительно к неизвестных функций частном случае, когда обобщенные силы потенциальны, связи (7.15) стационарны, а обобщенные координаты соответствующие исключенным обобщенным скоростям не входят в выражения для кинетической энергии, потенциала и коэффициентов связей, уравнения (7.19) переходят в уравнения Чаплыгина.

6. Уравнения Эйлера — Лагранжа. В этом и следующем пунктах, следуя [34, 96, 138], мы рассмотрим дифференциальные уравнения движения, которые применимы как к голономным, так и к неголономнььм системам,

Пусть — обобщенные координаты рассматриваемой системы. Предположим, что на систему наложено к кинематических связей, задаваемых уравнениями

Коэффициенты — функции обобщенных координат

Для определения скоростей точек системы очень часто удобнее использовать не сами обобщенные скорости а некоторые их линейные формы с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат. Обозначим эти формы через и введем их по формулам

Правые части равенств (7.22) совпадают с левыми частями соответствующих уравнений связей (7.20), а коэффиценты в равенствах (7.21) выбираются так, чтобы соотношения (7.21), (7.22) былп однозначно разрешимы относительно Если это условие выполнено, то из (7.21) и (7.22) имеем

где — функции

Величины называют псевдоскоростями, а символы — псевдокоординатами. Если — какая-либо функция от то символ означает по определению

следующую операцию:

Обозначим через Г функцию, полученную из кинетической энергии Т системы заменой обобщенных скоростей на их выражения (7.23) через псевдоскорости .

Пусть — обобщенная сила, соответствующая . Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы запишутся в виде

Здесь

Величина П называется обобщенной силой, соответствующей лсевдокоординате я», а величипы — трехиидексными символами Больцмана. Значения трехиндексных символов зависят лишь от принятого определения (7.21), (7.22) псевдоскоростей через обобщенные скорости; они не зависят от структуры изучаемой системы, ни от ее движения.

Уравнения (7.25) получены Г. Гамелем [249], который назвал их уравнениями Эйлера — Лагранжа. Эти уравнения вместе с уравнениями связей (7.20) и соотношениями (7.21) представляют к уравнений движения системы в псевдокоординатах. Если начальные условия заданы, то интегрирование этих уравнений позволяет пайтп к неизвестных функции времени

При использовании уравнений (7.25) следует иметь в виду, что в них кипетическая энергия Т является, вообще говоря, функцией всех к псевдоскоростей . И так как в (7.25) содержатся производные от Т по всем псевдоскоростям, в том числе и по псевдоскоростям обращающимся согласно (7.20) в нуль, то связи (7.20) нужно учитывать только после составления уравнений (7.25), когда дифференцирование по псевдоскоростям уже произведено.

7. Уравнения Аппеля. Пусть — обобщенные координаты системы, на которую наложено к

кинематических связей, задаваемых уравнениями

где коэффициенты при и свободные члены являются функциями от и Через обозначим обобщенпые силы, соответствующие обобщенным координатам

Введем псевдоскорости по формулам

где — функции от . Эти функции должны быть выбраны так, чтобы соотношения (7.28), (7.29), рассматриваемые как уравнения относительно были однозначно разрешимы.

Разрешив систему линейных уравнений (7.28), (7.29), получим

где — функции

Пусть — энергия ускорений системы, выраженная через обобщенные координаты, скорости и ускорения. Используя (7.30), можно исключить из выражения для обобщенные скорости и ускорения. Получающуюся в результате функцию обозначим через Таким образом, получим энергию ускорений, выраженную через псевдоскорости и псевдоускорения

Величины Пвычисляемые согласно равенствам

суть обобщенные силы, соответствующие псевдокоординатам . Если величины не зависят от обобщенных скоростей, то обобщенные силы будут функциями от и . В общем же случае П — функции

Дифференциальные уравнения движения рассматриваемой системы могут быть записаны в виде

Уравнения движения в этой форме впервые получены в [213] и называются уравнениями Аппеля. Вместе с уравнениями связей

(7.28) и соотношениями (7.29) они образуют систему из к уравнений относительно такого же числа неизвестных функций

Уравнения Эйлера — Лагранжа и уравнения Аппеля применимы как к иеголономпым, так и к голономным системам. Их прпменепие не предполагает обязательного использования псевдокоординат в качестве переменных задачи: уравнения могут быть записаны и в обобщенных координатах. Выбор тех или иных уравнений, а также переменных, задающих движение системы, в каждой конкретной задаче диктуется прежде всего вычислительными удобствами.