§ 5. Перманентные вращения тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости

1. Существование стационарных движений.

Рассмотрим движение без скольжения твердого тела, ограниченного выпуклой поверхностью, по неподвижной горизонтальной плоскости в однородном поле тяжести. Положение твердого тела в неподвижной спстеме координат имеющей начало в некоторой точке

опорной плоскости и направленную вертикально вверх ось зададим координатами х, у его центра тяжести и углами Эйлера Уравнения связей, выражающие условия отсутствия скольжения, запишутся в впде соотношений (1.66).

Тяжелое твердое тело, движущееся без скольжения по горизонтальной плоскости, представляет собой неголономную систему Чаплыгина. Дифференциальные уравнения движения тела имеют вид уравнении (1.70). Следуя работам [67, 70], рассмотрим вопрос о существовании и устойчивости перманентных вращений тела.

Опираясь на равепства (1.68), (1.09) данной главы и на соотношения (1.25), (1.30), (4.5), (4.22) гл. 2, нетрудно убедиться, что дифференциальные уравнения (1.70) допускают частные решения вида

где — постоянные величины, удовлетворяющие уравнениям

Решение (5.1) соответствует такому стационарному движению тела, когда оно опирается о горизонтальную плоскость одной и той же точкой своей поверхности и вращается вокруг вертикали, проходящей через эту точку, с угловой скоростью Центр тяжести тела описывает при этом окружность, лежащую в плоскости, параллельной опорной горизонтальной плоскости, с центром на оси вращения тела. Чтобы найти радиус этой окружности, рассмотрим уравнения связей (1.66) на решении (5.1). Имеем

Здесь - постоянные, зависящие от Из (5.3) при , получаем

где — произвольные постоянные (координаты точки касания тела и опорной плоскости). Отсюда получаем

Но так как для решения (5.1) справедливы равенства (5.2), то выражение для радиуса окружности, описываемой центром тяжести тела, можно записать в виде

Здесь величины определяемые равенствами (1.69), должны быть вычислены при

Если то решение (5.1) отвечает равновесию тела; в положении равновесия центр тяжести тела находится на вертикали, проходящей через точку касания тела с опорпой плоскостью.

Исключив уравнений (5.2) величину . получим соотношение

где — направляющие косинусы оси в системе координат образованной главными центральными осями инерции тела; они выражаются через 0 и по формулам (1.3) гл. 1. Соотношение (5.4) является условием, которому должны удовлетворять направляющие косинусы осей перманентных вращений тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Отметим, что (5.4) в точности совпадает с аналогичным условием (4.8) гл. 2.

Не каждая удовлетворяющая условию (5.4) вертикальная ось, проходящая через точку касания тела и плоскости, является осью перманентного вращения тела. Чтобы ось была таковой, она должна удовлетворять динамическому условию: величина определенная из (5.2), должна быть неотрицательной. Это условие может быть записано в виде неравенства которое можно преобразовать к такой форме:

где — расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости.

Каждой оси перманентного вращения тела, направляющие коспиусы которой удовлетворяют условиям (5.4) и (5.5), отвечает уже, вообще говоря, не произвольное, а единственное значение величины которая определяется одним из равенств (5.2).

Отметим [67], что динамическое условие (5.5) переходит в соответствующее условие (4.9) гл. 2, если правую часть в (5.5) заменить на нуль. Но так как правая часть неравенства (5.5) неотрицательна, то отсюда следует, что, хотя уравнения, которым должны удовлетворять направляющие косинусы осей перманентных вращений в задачах о движении тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях, совпадают, область динамически допустимых осей в случае абсолютно гладкой плоскости шире, нежели в случае абсолютно шероховатой плоскости.

Отметим также [67] некоторое различие задач о перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой и абсолютно шероховатой плоскостях. В первом случае вращение тела происходит вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести тела, сам центр тяжести неподвижен, а точка касания

тела с опорной плоскостью описывает на последней окружность; при этом тело скользит по опорной плоскости. Во втором случае вращение тела происходит вокруг вертикали, проходящей через точку касания тела с опорной плоскостью; эта точка тела неподвижна, а центр тяжести тела описывает окружность, лежащую в плоскости, параллельной опорной плоскости.