§ 8. Периодические движения эллипсоида, близкого к шару
1. Уравнения движения.
Пусть однородный эллипсоид, поверхность которого задается уравнениями (7.1), движется без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости в однородном поле тяжестп. Получим уравнения движения эллипсоида, опираясь на равенства (1.1) — (1.7).
В системе координат 
образованной главными центральными осями пнерции эллипсоида, вектор мгновенной угловой скорости эллипсоида 
задается компонентами 
а радиус-вектор точки М касания эллипсоида с опорной плоскостью относительно центра тяжести имеет компоненты 
. Из (7.2), (7.4) следует, что направляющие косинусы вертикали в системе 
выражаются через величины 
по формулам
Подставив выражение (1.7) для реакции плоскости в правую часть уравнения (1.3), получим следующие три дифференциальные уравнения:
Здесь 
— масса эллипсоида, 
— ускорение свободного падения,
А, В и С — главные центральные моменты эллипсоида, вычисляемые по формулам (7.7).
Система уравнений (8.3) замыкается при помощи кинематического уравнения Пуассона (1.6). Опираясь на равенства (8.1), (8.2), его можно записать в виде следующих трех скалярных дифференциальных уравнений:
Эти уравнения зависимы в силу тождества (7.1). Система уравнений (8.3). (8.4) допускает интеграл энергии
где 
— скорость центра тяжести, 
— вычисляемое по формуле (7.4) расстояние от центра тяжести до опорной плоскости. Учтя условие отсутствия скольжения (1.4), интеграл энергии можно записать в виде
Можно проверить, что при каждой из следующих трех подстановок
уравнения (8.3), (8.4) остаются неизменными. Эти свойства симметрии будут далее использованы при исследовании вопроса о существовании периодических движений эллипсоида и для построения их методом, разработанным 
Чезари [206] и Дж. Хейлом [199].
