3. Устойчивость движения эллиптического диска.

Рассмотрим задачу о движении тяжелого однородного диска по неподвижной абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Предполагаем, что касание плоскости и диска происходит в одной точке, принадлежащей ограничивающему диск острому краю, имеющему форму эллипса. В системе координат уравнение эллипса записывается в впде

Момепты инерции эллиптического диска вычисляются по формулам

а расстояние от центра тяжести диска до касательпой к ограничивающему его эллипсу в точке М соприкосновения диска и опорной плоскости задается выражением

Функция Гамильтона, описывающая движение диска относительно центра тяжести, определяется соотношениями (1.41), (1.42), (6.1), (6.17) и (6.18). Если перейти к безразмерному времени и обезразмерить импульсы введением масштабного множителя то выражение для функции Гамильтона будет таким (сохраняем старые обозначения для импульсов):

Здесь

Через а в (6.19) и (6.20) обозначен безразмерный параметр, равный отношению полуосей диска: , а через — безразмерная постоянная интеграла

Рассмотрим частный случаи движения диска, когда он катится и скользит так, что его плоскость остается в заданной вертикальной плоскости. Такое движение существует, если При этом а изменение переменных со временем описывается дифференциальными уравнениями с гамильтонианом

где коэффициенты должны быть вычислены Будем считать, что длины полуосей дпска близки, положим . С точностью до членов первого порядка относительно гамильтониан (6.21) запишется в виде

Упростим функцию Гамильтона (6.22), введя новые канонически сопряженные переменные (переменные действие — угол) при помощи канонического преобразования, задаваемого формулами

Производящую функцию подберем так, чтобы в преобразованной функцип Гамильтоиа отсутствовала угловая переменная Несложно показать, что в первом приближении по

С той же точностью из (6.23), (6.24) находим явный вид замены перемепных

Если отбросить несущественную аддитивную постоянную, то в переменных в первом приближении но функция Гамильтона (6.22) будет такой:

В новых переменных в первом приближении но рассматриваемое движение диска задается формулами

где — произвольные постоянные,

Пусть Из (6.25) и (6.27) следует, что в первом приближении

т. е. диск вращается вокруг горизонтальной оси со средней угловой скоростью (при выбранной единице времени). На это вращение при накладываются колебания с амплитудой (тем меньшей, чем больше и частотой

Исследуем устойчивость движения диска по отношению к возмущениям выводящим его плоскость из фиксированной вертикальной плоскости, и по отношению к т. е. по отношению к возмущению его средней угловой скорости. получении функции Гамильтоиа Н возмущенного движения — величины первого порядка, — величина второго порядка. Фуукцию Н можно записать в виде ряда

где — совокупность членов порядка,

имеет порядок и содержит в виде сипусов и косинусов углов, кратных от зависит.

Вычисления показывают, что а

Из следует, что если то при рассматриваемое движение диска неустойчиво. Неустойчивость при очевидно, остается и при ненулевых, но достаточно малых значениях Пусть теперь Рассмотрим сначала устойчивость в первом (линейном) приближении, описываемом функцией Гамильтона По переменной очевидно, будет устойчивость. Рассмотрим устойчивость по переменным Если перейти к новой независимой переменной — углу то квадратичная часть функции Гамильтона возмущенного движения — отвечающая за изменение переменных в первом (линейном) приближении, запишется с учетом членов не выше первого порядка по в виде

Из двух дифференциальных уравнений, определяемых гамильтонианом (6.31), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка для которое при помощи замены переменных приведем в первом приближении по к уравнению Матье

Для нахождения областей неустойчивости используем исследование уравнения Матье, изложенное в [181]. Области неустойчивости могут возникнуть вблизи тех значений параметров для которых Так как при достаточно малых величина превосходит единицу, то в нашей задаче

число может принимать только два значения: 0 или 1. Соответствующие области неустойчивости, как показывают вычисления, обнаруживаются уже в первом приближении по и задаются неравенствами

На рис. 23 в верхней полуплоскости параметров области неустойчивости отмечены штриховкой; области неустойчивости в нижней полуплоскости расположены симметрично относительно оси

Пусть параметры лежат в областях устойчивости линейной задачи.

Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в нелинейной постановке. Согласно [103, 127] для этого надо вычислить коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона возмущенного движения (6.29). Как правило, для суждения об устойчивости и неустойчивости достаточно провести нормализацию до членов четвертого порядка включительно.

Рис. 23

Найдем сначала нормальную форму функции Гамильтона (6.29) при Для этого сделаем каноническую замену неременных

Тогда примет нормальную форму, а так как то при нахождение нормальной формы членов сводится к их усреднению по . В результате получаем

При коэффициенты нормальной формы (6.35) изменяются на постоянные величины порядка а при резопансе — целое нечетное число) в нормальную форму добавятся еще и слагаемые . В нашей задаче реализуются только случаи Согласно [103, 127] при достаточно малых как при наличии резонанса, так и в его

отсутствие будет устойчивость, если величина отлична от нуля. Вычисления показывают, что

и обращается в пуль при . Если исключить эти зпачения то всюду в области устойчивости в первом (линейном) приближении; рассматриваемое движение эллиптического диска, достаточно мало отличающегося от круга, будут действительно устойчивым.

Остановимся еще на исследовании устойчивости перманентного вращения эллиптического диска вокруг вертикали. Система дифференциальных уравнений движения с функцией Гамильтона (6.19) допускает частпое решение

Это решение соответствует перманентному вращению диска вокруг его вертикально расположенной оси Угловая скорость вращения произвольна и определяется значением постоянной

Устойчивость этого движения диска по отношению к возмущениям величин рассмотрена в статье [120]. Кратко изложим полученные там результаты. Характеристическое уравнение линеаризованной системы уравнений возмущенного движения имеет вид

Необходимые условия устойчивости определяются следующей спстемой неравенств:

В плоскости параметров неравенства (6.38) выделяют область в которой корни уравнения (6.37) чисто мнимые и различные. Эта область показана на . В заштрихованной на рис. 24 части плоскости перманентное вращение диска неустойчиво, так как характеристическое уравнение имеет там корень с положительной вещественной частью. Отметим, что при т. е. когда перманентное вращение эллиптического диска происходит вокруг меньшей его оси, имеет место неустойчивость при любых значениях угловой скорости. Для вращения вокруг большей оси необходимые условия устойчивости будут выполнены, если только величина угловой скорости будет не меньше некоторой зависящей от а величины.

Для строгого решения вопроса об устойчивости перманентного вращения диска в случае, когда параметры принадлежат

области устойчивости в первом приближении, в статье [120] использовались расчеты на ЭВМ, опирающиеся на результаты теории устойчивости гамильтоновых систем, содержащиеся в [4, 103, 127, 176]. Расчеты проведены для Оказалось, что для значений , лежащих внутри области или на криволинейной ее правой границе, задаваемой уравнением

исследуемое перманентное вращение дшжа устойчиво.

Рис. 24

Отметим еще, что на левой границе области где имеет место устойчивость, что следует данного параграфа, так как при получаем рассмотренную в задачу об устойчивости вращения однородного <кругового диска вокруг его вертикально расположенного диаметра.