3. Уравнения Воронца движения тяжелого твердого тела, катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости.

Пусть твердое тело дижется в однородном поле тяжести по неподвижной горизонтальной плоскости так, что скольжение отсутствует. Точка М касания тела и плоскости в системе координат образованной главными центральными осями инерции тела, имеет координаты . Величины будут функциями координат точки М на поверхности тела. Координаты единичного вектора направленного по нормали к плоокости, вычисляются по формулам (1.25). Так как вертикаль имеет неизменное направление в пространстве, то справедливы равенства

Условия отсутствия скольжения записывается в виде соотношений (1.8).

Так как величины — функции величин то их производные по времени в (1.41) можно заменить на правые части равенств:

Обозначим через проекцию угловой скорости тела на вертикаль. Тогда

Из (1.41) — (1.43) находпм

Из (1.8) и (1.44) с учетом обозначения очевидных равенств

имеем

Формулы (1.44) и (1.45) дают величины , как линейные однородные функции величин коэффициентами при которых являются известные функции величин и, у. Следуя [30], найдем дифференциальные уравнения, которые определяют величины как функции времени.

Кипетическая энергия тела вычисляется по формуле (1.10). Проекции вектора количества движения и кипетического момента на оси определяются соответственно выражениями

и

Из уравнений (5.1) гл. 1 имеем

Здесь — вес тела, — проекции реакции плоскости на соответствующие оси.

Пусть обозначает кинетическую энергию выраженную через величипы при помощи равенств (1.44) и (1.45). Тоща на основании (1.44) и (1.45) имеем

Следовательно,

Заменив здесь величины на соответствующие правые частп уравнений (1.46), (1.47), воспользовавшись равенствами (1.41) и приведя подобные члены, получим уравнение

Вычислим теперь производную от 0 по . Используя (1.44) и (1.45), получаем

Продпффренцпровав обе части этого равенства по времени и воспользовавшись уравнениями (1.46), (1.47), получим после приведения подобпых членов такое уравнение:

Здесь через П обозначена потенциальная энергия тела:

где верхний или нижпий знак отвечает соответственно случаю, когда вектор направлен вертикально вверх пли вертикально вниз.

Совершенно аналогично можно получить уравнение

Правая часть этого уравнения получается из правой части уравнения (1.49), если в последней частные производные от функций по и заменить на частные производные по

Упростим уравнения (1.48) -(1.50). Из (1.16) и (1.25) получаем

Из (1.51) и тождеств

получаем, что

(см. скан)

и

(см. скан)

Если теперь в правых частях уравнений (1.48) — (1.50) величины выразить через и при помощи формул (1.44), (1.45) и провести затем довольно громоздкие преобразования, использующие равенства (1.51) — (1.53), то уравнения (1.48) — (1.50) могут быть представлены в таком виде:

Это будут искомые дифференциальные уравнения движения твердого тела; они определяют величипы . В работах [29, 31] П. В. Воронец получил уравнения (1.54) также и другим способом, опираясь на принцип Гамильтона — Остроградского, обобщенный им на (неголоном-иые системы. В монографии 196] уравнения (1.54) получены при помощи уравнений Эйлера — Лагранжа.

Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что существует интеграл энергии

Дифференциальные уравнения (1.54) имеют второй порядок относительно переменных и первый порядок относительно Общее решение системы (1.54) зависит, следовательно, от пяти

ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ Си

Если из двух последних соотношений исключить то получим уравнение кривой Г — следа точки касания М на поверхности твердого тела.

Из формул (1.55) при помощи квадратур можно получить уравнение кривой -следа точки касания М на плоскости качения Пусть будет плоскостью неподвижной системы координат ось которой направлена вертикально вверх. Обозначим через угол, который образует касательная к кривой с осью Тогда [31]

— геодезическая кривизна кривой Г в точке — скорость перемещения точки М по Г. Из (1.56) имэем

где — новая произвольная постоянная.

Кривые Г и в точке М имеют общую касательную, и в силу отсутствия скольжения геометрическая точка М за время по обоим кривым проходит одип и тот же путь Следовательно. если через ум обозначить декартовы координаты точки М на плоскости то можно написать

Отсюда следует, что

где и — новые произвольные постоянные. Формулы (1.58) задают кривую

Соотношения (1.55), (1.57) и (1.58) содержат восемь произвольных постоянных дают общее решение задачи о движении без скольжения твердого тела по неподвижной горизонтальной плоскости. Действительно, положение тела, катящегося по какой-либо поверхности и касающегося ее одной своей точкой, вполне определяется пятью координатами; условие отсутствия скольжения дает две неинтегрируемые связи; следовательно, самое общее решение нашей задачи должно содержать как раз восемь произвольных постоянных.

С помощью формул (1.55), (1.57) и (1.58) легко найти углы Эйлера и координаты х, у, z центра тяжести в неподвижной системе координат как функции времени Углы сразу находятся из равенств

так как при известных u и величины . определяемые по формулам (1.25), будут также известными функциями Угол можно найти интегрированием кинематических уравнений Эйлера. Но можно воспользоваться отсутствием скольжения и, следуя [31], избежать интегрирования. Угол между касательной к следу точки М на плоскости и осью в силу отсутствия скольжения равен углу между вектором скорости перемещения точки М по ее следу Г на поверхности тела и той же осью Единичные векторы линии узлов и касательной к кривой Г задаются в системе координат компонентами соответственно. А так как угол между этими векторами равен то

Координата центра тяжести, очевидно, равна (берется верхний пли нпжиий знак в зависимости от того, направлен вектор вверх пли вниз), а координаты х, у при известных углах Эйлера могут быть вычислены по формулам (1.15) гл. 2.

Проекции реакции плоскости на оси могут быть найдены из (1.44) — (1.46). Если эти величины найдены, то величина нормальной реакции плоскости определится по формуле

Проекции же силы трения на определяются, очевидно, соотношениями

Уравнения движения (1.54) сильно упростятся, если за координатные линии и принять линии кривизны поверхности тела В этом случае , и уравнения (1.54) принимают вид