2. Теория Контепсу связи между трением скольжения и трением верчения.
Пусть тело движется по неподвижной горизонтальной плоскости с сухим трением. Так как плоскость и тело никогда не являются абсолютно твердыми, то они будут соприкасаться не в точке, а по некоторой, хотя и малой, но конечной
площадке. Для получения закона распределения нормального давления 
по площади соприкосновения будем использовать теорию статических контактных задач Герца [92], пренебрегая динамическими эффектами.
Предположим, что поверхность тела, по крайней мере локально, в окрестности точек его касания с опорной плоскостью, является сферической. Согласно теории Герца, соприкосновение тела и плоскости будет происходить по круговой площадке; радиус о этой площадки зависит от модулей упругости материалов плоскости и тела, результирующей нормального давления 
тела на плоскость и радиуса кривизны поверхности тела. Величина нормального давления 
в точке Р круга контакта задается формулой
где 
— расстояние от центра круга контакта до точки Р (рис. 41).
Рис. 41
Будем считать, что законы Кулона сухого трения скольжеипя применимы к каждому элементу площади контакта. Пусть в данный момент времени тело вращается с угловой скоростью 
вокруг вертикали и движется поступательно со скоростью и бдоль оси 
Проекции скорости точки Р на оси 
будут такими:
Пусть 
— коэффициент сухого трения скольжения. Тангенциальное напряжение в точке Р противоположно вектору скорости этой точки и имеет величину 
Проекции тангенциального напряжения на оси 
вычисляются по формулам
Приняв центр круга контакта за центр приведения сил, приложенных к телу со стороны плоскости, получим, что реакция плоскости приводится к силе 
и паре с моментом М, имеющим вертикальное направление. Модуль момента пары вычисляется по формуле
Проекция силы 
на ось 
равна нулю, а проекция на ось
Ох определяется равенством
Интегралы (2.4), (2.5) нельзя выразить в элемептарных функциях. Вычислим их асимптотику при больших и малых угловых скоростях тела. Точнее, введем безразмерный параметр 
который характеризует соотношение между скольжением и верчением, и вычислим приближенные значения интегралов (2.4) и (2.5) в случае 
При малых значениях X интеграл (2.4) будет таким:
а при больших к имеем
Ввиду малости величипы о радиуса круга контакта момент трения верчения мал, и в дальнейшем его рассматривать не будем.
Для величипы 
из (2.5) при малых и больших значениях 
получаем соответственно такие приближенные выражения:
и
В работе [86] приведены результаты численного анализа интегралов из (2.5). И числепные расчеты, и асимптотики (2.8), (2.9) показывают, что при движении тела по плоскости в режиме скольжения и достаточно быстрого верчения сила треипя приблизительно пропорциональна скорости скольжения, т. е. имеет место вязкое трение; в режиме чистого скольжения и при малых угловых скоростях верчения следует рассматривать сухое трение.
