2. Метод Чаплыгина решения задачи о движении тяжелого тела вращения на плоскости.

Сформулированная выше теорема была получена С. А. Чаплыгиным иначе, нежели это изложено в п. 1. С. А. Чаплыгин в своем исследовании опирался на дифференциальные уравнения движения, полученные им из основных теорем динамики. Следуя работе С. А. Чаплыгина [202] и статьям [123, 137], получим, эти уравнения и рассмотрим указанный в [202] алгоритм исследования движения без скольжения тяжелого тела вращения на неподвижной горизонтальной плоскости.

Рис. 31

Пусть — неподвижная система координат с началом в некоторой точке плоскости по которой движется тело. Обозначим через угол между осью симметрии тела и вертикалью. Расстояние от центра тяжести до илоскостп (рис. 31) будет функцией угла (см. § 2 гл. 2). Пусть — угол между меридианом тела какой-либо фиксированной его мерпдиапной плоскостью, а у — угол между горизонтальной касательной меридиана и неподвижной осью Положение тела будет вполне определено углами и координатами х, у точки М.

Для описания движения тела введем еще систему координат движущуюся и в пространстве, и в теле так, что ось все время лежит в плоскости вертикального мерндиана перпендикулярна этой плоскости. Пусть векторы скорости центра масс угловой скорости со тела, угловой скорости трехгранника реакции плоскости задаются в системе

координат компонентами соответственно.

Пусть — масса тела, — его момент пперцпп относительно осей и момент инерции относительно оси симметрии.

Так как ось неподвижна в теле, то

Величина же может быть выражена через действительно, в силу того, что плоскость все время остается вертикальной, проекция угловой скорости трехгранника на прямую равна нулю. Отсюда и из (3.13) следует, что

Из условия отсутствия скольжения и теорем об изменении количества движения и кинетического момента получим три векторных равенства:

Здесь — ускорение свободного падения, К — кинетический момент тела относительно центра масс.

Пусть — координаты точки касания М тела и плоскости в подвиячной системе координат Тогда будут функциями угла причем (см. § 2 гл. 2):

В скалярной форме уравнения (3.15) — (3.17) будут такими:

Исключение величин уравнении (3.20), (3.21) и некоторые упрощения, опирающиеся на (3.13), (3.14), (3.18)

и (3.19), приводят к трем уравнениям:

Здесь — функции угла определяемые равенствами (3.18). Добавив к (3.22) очевидное соотношение

получим замкнутую систему четырех дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций времени

Полученная система уравнений допускает интеграл энергии Воспользовавшись теоремой Кёнига и условиями отсутствия скольжения (3.15), его можно записать в таком виде:

Откладывая случай для дальнейшего подробного исследования в пп. 4, 5, будем здесь считать, что Тогда, воспользовавшись равенством (3.23), перейдем во втором и третьем из уравнений (3.22) к новой независимой переменной — углу 0. Получим

Эти линейные уравнения первого порядка приводят к одному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Интегрирование этого уравнения или системы (3.25) дает зависимость от 0 с Двумя произвольными постоянными; затем интегрирование задачи заканчивается в квадратурах.

В самом деле, если найдены, то величина может быть определена из интеграла энергии (3.24) также как функция 0. Зависимость же угла от времени получится из уравнения

Углы и у определятся затем квадратурами из следующих очевидных кинематических уравнений:

Координаты х, у точки касания М также найдутся при помощи квадратур. Действительно, пусть — соответственно элементарные дуги меридиана и параллели в точке М, отсчитываемые следующим образом: от М к перпендикулярно плоскости рис. 31 в направлении оси Тогда

Так как скольжение отсутствует, то

Из (3.28) и (3.29) следует, что

Если уже определены как функции времени, то величины х, у находятся отсюда квадратурами.

Заметим еще [137], что подстановкой интегрирование системы (3.25) может быть приведено к интегрированию уравнения Риккати относительно функции

В работах [137, 202] рассмотрено несколько простейших частных случаев, когда уравнения (3.25) интегрируются достаточно просто. Много внимания уделено нахождению тел, имеющих такую форму меридианного сечения, которой были бы возможны движения тела с постоянной угловой скоростью вращеиия вокруг оси симметрии . В частности, в [137] подробно рассмотрело движение тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением дуги параболы вокруг оси, проходящей через ее фокус, а также изучена задача о движении параболоида вращения. В [202] расследовано движение тела, ограниченного сферической поверхностью; основные результаты этого исследовании изложены в следующем пункте.