§ 5. Некоторые задачи динамики эллипсоида на гладкой плоскости

1. Исследование устойчивости перманентного вращения эллипсоида [118, 134].

Рассмотрим движение однородного тяжелого тела, ограниченного эллипсоидальной поверхностью, по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Будем придерживаться обозначений, принятых в § 1. Пусть — полуоси поверхности тела. Тогда в связанной системе коордпнат поверхность тела задается уравнением

Из (1.1) и (1.4) с учетом конкретного вида (5.1) функции находим выражения для координат точки касания эллипсоида с опорной плоскостью:

Отсюда и из (1.21) получаем выражение для расстояния от центра тяжести тела до опорной плоскости:

Для производных из (5.4) получаем такие выражения:

Без ограничения общности можно считать, что проекция центра тяжести на опорную плоскость неподвижна, т. е. Тогда, принимая во внимание выражения для моментов инерции эллипсоида относительно его главных осей

из (1.30), (1.37) и (5.4) получаем следующее выражение для приведенного потенциала:

Так как очевидно, что то в соответствии с (4.2) значения отвечающие перманентным вращениям эллипсоида, будут критическими точками функции которые, в свою очередь, соответствуют точкам пересечения осей эллипсоида с его поверхностью. Учитывая, что оси эллипсоида ортогональны его поверхности, получаем, что перманентные вращения однородного эллипсоида существуют и отвечают его вращению с произвольной постоянной угловой скоростью вокруг любой его вертикально расположенной оси. Исследуем устойчивость этих вращеиий. Для определенности рассмотрим перманентное вращение вокруг оси эллипсоида. Соответствующее решение системы дифференциальных уравнений (1.43) с функцией Гамильтона (1.41) будет таким:

где — произвольная постоянная.

Пусть Отбросив несущественную постоянную, получим, что с точностью до вторых степеней <72 разложение приведенного потенциала (5.7) в окрестности перманентного вращения будет таким:

где через к обозначена безразмерная величина

Из (5.9) и теоремы Рауса — Ляпунова следует, что если вращение эллипсоида происходит вокруг его наименьшей то перманентное вращение (5.8) устойчиво относительно возмущений величии При этом величина со может быть любой, в том числе и равной нулю, что соответствует положению равновесия эллипсоида, когда он опирается о плоскость одной из своих вершин, лежащих на его наименьшей оси.

Если а будет средней осью эллипсоида или то из (5.9) и теоремы Кельвина — Четаева следует неустойчивость перманентного вращения (5.8) (при любом о).

Если же а будет наибольшей осью эллипсоида, то функция двух переменных (5.9) будет определенно-отрицательной, и

перманентное вращение (5.8) может быть устойчивым или неустойчивым в зависимости от величины , по это нельзя установить при помощи теорем Рауса — Ляпунова или Кельвина — Четаева. Для строгого решения вопросу об устойчивости в этом случае воспользуемся результатами работ [4, 103, 127]. Сделаем замену переменных

и перейдем к безразмерному времени . Разлагая затем функцию Гамильтона (1.41) в ряд по степеням и отбрасывая несущественную постоянную, получаем

где — форма степени к огносителыю Вычисления показывают, что

(см. скан)

Здесь приняты обозначения

Характеристическое уравнение линеаризованной системы с гамильтонианом будет иметь вид

Для устойчивости необходимо, чтобы это уравнение не имело корней с отличной от нуля вещественной частью. Следовательно, должна выполняться система неравенств

Решив эту систему, придем к следующему необходимому (с точностью до знака равенства) условию устойчивости перманентного вращения эллипсоида (5.8):

где

Условие (5.16) можно также записать в такой форме:

Неравенство (5.17) впервые получено Пюизё [280]. Если эллипсоид симметричен то неравенство (5.17) переходит в такое:

которое согласно (2.39) необходимо и достаточно для устойчивости перманентного вращения симметричного эллипсоида.

Рис. 14

На рис. 14 в пространстве параметров к представлена область (5.16), в которой выполняются условия, необходимые для устойчивости. Она лежит внутри бесконечного параллелепипеда и расположена под поверхностью Эта область симметрична относительно плоскости она сужается к началу координат, а при к сужается и асимптотически приближается к ребру параллелепипеда Поверхность пересекает все боковые грани параллелепипеда; боковые ребра она пересекает

Для полного нелинейного анализа устойчивости в области (5.16), следуя алгоритму из [103], сделаем сначала линейную

каноническую замену переменных приводящую к нормальной форме

где - положительные корни уравнения (5.14), в котором принято Линейная нормализующая замена переменных будет такой:

Здесь введены обозначения

Дальнейшая нелинейная нормализация проводится при помощи преобразования Бпркгофа [10]. Если выполняется резонансное соотношение то нормализованная до членов четвертого порядка включительно функция Гамильтона (5.10) примет вид

где — функции параметров . Соотношение выполняется на резонансной поверхности

Эта поверхность пересекает плоскость по кривой, изображенной на рис. 14 штриховой линией. Точки являются граничными точками этой кривой. Вся резонансная поверхность лежит ниже поверхности к выделяющей из параллелепипеда область, где выполняются условия устойчивости в первом приближении; при она пересекает грани параллелепипеда по тем же кривым, что и поверхность

Если при резонансе выполняется неравенство

то имеет место устойчивость, при обратном знаке неравенства в (5.23) неустойчивость [103]. Численная проверка при помощи ЭВМ показала, что неравенство (5.23) выполняется на всей резонансной поверхности (5.22), за исключением двух ее узких областей, исходящих из точки и симметричных относительно плоскости На рис. 14 эти области заштрихованы. При приближении к граням параллелепипеда они стягиваются в точки соответственно.

Если то в нормальной форме (5.21) , и при выполнении неравенства

движение устойчиво [4, 127]. Численные расчеты показали, что поверхность существует и лежит ниже поверхности но выше резонансной поверхности Она пересекает боковые грани параллелепипеда по тем же кривым, что и поверхность

Таким образом, внутри области устойчивости в первом приближении стационарное вращение (5.8) эллипсоида вокруг его наибольшей вертикально расположенной оси устойчиво всюду, кроме, быть может, поверхности которая требует более детального исследования, учитывающего члены выше четвертого порядка в разложении функции Гамильтона (5.10), а также двух узких заштрихованных на рис. 14 областей, лежащих на резонансной поверхности на которых имеет место неустойчивость.

В статье [75] рассмотрено движение тяжелого твердого тела с эллипсоидальной поверхностью по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Тело пеоднородно, но главные оси его поверхности совпадают с главными осями центрального эллипсоида инерции. Найдены однопараметрические семейства перманентных вращений тела, условия их существования, ветвлеиия и устойчивости; отмечено, что в одном вырожденном случае семейство перманентных вращений становится двухпараметрическим. Указаны некоторые особенности рассматриваемой задачи; в частности, найдено, что возможны потеря устойчивости быстрого вращения тела с наинизшнм расположением центра масс и стабилизация такого вращения в случае наивысшего расположения центра масс.